Question

【题目】做功与路径无关的力场叫做“势场”，例如引力场和电场。在这类场中可以引入“场强”和“势能”的概念来分别描述势场中力和能的性质。可以类比电场强度的定义，将质点放在引力场中所受到的引力与质量的比值定义为引力场的场强。

如图甲所示为某势场的场强E的大小随x的分布，图中E0为已知量。在该势场中，一个质点仅在场力作用下，以x = 0为中心，沿x轴做周期性运动。已知质点的质量为m，受到的场力可表示为F = kE（k为常量），场力方向平行于x轴。取x = 0点为O点。

（1）请从力和加速度的角度，分析说明质点在区域和区域的运动性质；

（2）功是能量转化的量度，场力做功引起势能的变化。取O点为零势能点。

a．请推导出势能Ep与x的关系式，并在图乙中画出势能Ep随x变化的示意图。

b．已知质点的总能量为A，求质点与O点间距离为x0（x0在运动区间内）时，质点的动能Ek。

Answer 1

【答案】（1）在区域，质点受到的场力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，质点做匀变速直线运动。

在区域，质点受到的场力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，质点做匀变速直线运动。

（2）a．如图所示：

b．

【解析】

（1）根据牛顿第二定律求解加速度，从而判断运动情况；

（2）根据功能关系判断势能Ep随x变化；

（3）根据能量守恒来求解动能；

（1）根据题意，质点在场中受到的场力方向指向O点。

在区域，质点受到的场力F = kE0，加速度a =，加速度恒定，质点做匀变速直线运动。

在区域，质点受到的场力F = kE0，加速度a = ，加速度恒定，质点做匀变速直线运动。

质点在两个区域均做加速度大小为，方向指向O点的匀变速直线运动；

（2）a．在区域，质点从O点向x轴正方向运动，场力做负功，势能增加。

由，得，其中

解得：

同理可得，在区域，势能

所以，势能

势能Ep随x变化的示意图如右图所示：

b．质点在运动过程中动能与势能互相转化，能量守恒。

质点与O点距离为x0时，势能

根据能量守恒，动能。