Question

1．如图所示，质量均为M=1kg，长度均为L=3m的小车A、B静止放在足够大的光滑水平面上，两车间距为s=2m．小车B的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在小车B的中点O．现有一质量m=2kg的滑块C（不计大小）以v₀=6m/s的初速度滑上小车A的左端，C与A的摩擦因数为μ=0.2，B上表面光滑，g取10m/s²．
（1）求A与B碰前瞬间物块C的速度；
（2）若A、B碰后粘在一起，求弹簧的最大弹性势能；
（3）若A、B碰后粘在一起，求物块C最终距离O点的距离．

Answer 1

分析 （1）对AC运用动量守恒，求出AC的共同速度，根据能量守恒求出滑块在A上发生的相对位移，根据动能定理求出A车加速运动的位移，判断出A与B碰前是否共速，从而确定C的速度．
（2）AB组成的系统动量守恒，求出AB的共同速度，再对ABC组成的系统研究，当三者速度相对时，弹簧的弹性势能最大，结合能量守恒、动量守恒求出最大弹性势能．
（3）根据能量守恒求出物块C最终距离O点的距离．

解答 解：（1）设滑块与小车能共速，且速度为v₁，规定向右为正方向，由动量守恒得
mv₀=（m+M）v₁，
代入数据解得：v₁=4m/s，
设滑块在车上的相对位移为s₀，由能量守恒得
$μmg{s}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{1}}^{2}$       
代入数据解得：s₀=3m．
设A车加速过程位移为s₁，由动能定理得
$μmg{s}_{1}=\frac{1}{2}M{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：s₁=2m．
因为s₀=L、s₁=s，所以A与B碰前AC已达共速，C速度为v₁=4m/s．
（2）设A、B碰后速度为v₂，由动量守恒得
Mv₁=（M+M）v₂．
代入数据解得：v₂=2m/s，
设A、B、C共同速度为v₃，由动量守恒得
mv₁+（M+M）v₂=（m+M+M）v₃，
由能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}（M+M）{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M+M）{{v}_{3}}^{2}+{E}_{p}$，
代入数据解得：E_p=2J．
（3）设物块C最终距离O的距离为s₂，由能量守恒得
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}（M+M）{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M+M）{{v}_{3}}^{2}+μmg（{s}_{2}-\frac{L}{2}）$
代入数据解得：s₂=2m．
答：（1）A与B碰前瞬间物块C的速度为4m/s；
（2）若A、B碰后粘在一起，弹簧的最大弹性势能为2J；
（3）若A、B碰后粘在一起，物块C最终距离O点的距离为2m．

点评 本题考查了动量和能量的综合，运用动量守恒定律解题，关键选择好研究的系统，知道ABC速度相等时，弹簧弹性势能最大，当物块相对AB静止时，三者速度也相等．