Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第Ⅳ象限存在沿X轴正方向的匀强电场，电场强度为E，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从坐标为（0，l）的A点以速度v₀斜射入磁场，然后在坐标为（d，0）的B点垂直于X轴进入电场，最后从y轴上的C点射出（C点在图中未标出），求解过程中所涉及的角度均用弧度表示，不计粒子重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）粒子从A点运动到C点的总时间t..

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子运动的轨迹，由于粒子在磁场和电场分界线处的速度与x轴垂直，圆周O′应在x轴上，根据几何关系及洛伦兹力提供向心力公式列式即可求解B；
（2）根据几何关系求出粒子在磁场中运动的圆心角α，根据t=

Rα

v

求解在磁场中运动的时间，进入电场后做类平抛运动，其初速度为v₀，方向垂直于电场，根据平抛运动的基本公式求出在电场中运动的时间，总时间即为两者时间之和．

解答：解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，由于粒子在磁场和电场分界线处的速度与x轴垂直，圆周O′应在x轴上，
O′长度即为粒子运动的半径R，由几何关系得：
R²=l²+（R-d）²  ①
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得：
Bqv0=m

v02

R

  ②
由①②解得：B=

2dmv0

q(l2+d2)

（2）设∠AO′B=α，则sinα=

l

R

 ③
由①③得：α=arcsin

2dl

l2+d2

粒子在磁场中运动的时间
t1=

Rα

v0

=

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

④
进入电场后做类平抛运动，其初速度为v₀，方向垂直于电场，设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得：
qE=ma⑤
由运动学公式得：d=

1

2

at22⑥
由⑤⑥解得：t2=

2md qE

粒子运动的总时间t=t₁+t₂=

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

+

2md qE

答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小为

2dmv0

q(l2+d2)

；
（2）粒子从A点运动到C点的总时间t为

d2+l2

2dv0

arcsin

2dl

l2+d2

+

2md qE

．

点评：掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．