Question

（2008?佛山一模）如图所示，在光滑水平地面上，静放着一质量m₁=0.2kg的绝缘平板小车，小车的右边处在以PQ为界的匀强电场中，电场强度E₁=1×10⁴V/m，小车上A点正处于电场的边界．质量m₂=0.1kg、带电量q=6×10^-5C的带正电小物块（可视为质点）置于A点，其与小车间的动摩擦因数μ=0.40（且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）．现给小物块一个v₀=6m/s向右的初速度．当小车速度减为零时，电场强度突然增强至E2=2×104V/m，而后保持此值不变．若小物块不从小车上滑落，取g=10m/s²．试解答下列问题：
（1）小物块最远能向右走多远？
（2）小车、小物块的最终速度分别是多少？
（3）车的长度应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）先分析小物块与小车的运动情况：小物块水平方向受向左的电场力与滑动摩擦力做减速运动，而小车受摩擦力向右做匀加速运动，当速度相等后，受力情况发生了变化，两者可能相对静止，也可能相对滑动．根据牛顿第二定律分别求出两者的加速度，由速度公式列式，求出相等的速度，再由牛顿第二定律分析速度相等后能否相对静止．运用运动学公式分段求出小物块运动的距离．即得到向右运动的总路程．
（2）先牛顿第二定律和运动学公式结合，求出物块冲出电场时，两者的速度大小，若不从小车上滑落，两者最终会达至共同速度，根据动量守恒求出共同速度．
（3）根据能量守恒求车的长度．

解答：解：（1）小物块水平方向受向左的电场力与滑动摩擦力做减速运动，而小车受摩擦力向右做匀加速运动．
设小车与小物块的加速度分别为a₁、a₂，由牛顿定律得：
对小物块 qE₁+μm₂g=m₂a₂

 a2=

qE1+μm2g

m2

=

6×10-5×1×104+0.4×0.1×10

0.1

m/s2=10m/s2
对于小车μm₂g=m₁a₁
 a1=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
设经t₁秒两者速度相同，则由v_t=v₀-at得：
对小物块有：v_t=6-10t₁
对小车有：v'_t=2t₁
由以上二式得：6-10t₁=2t₁
解得：t₁=0.5（s），共同速度为：1m/s．
当两者达到共同速度后，受力情况发生了变化，其水平方向的受力如图所示：



若设两物体时只受电场力作用下一起做减速运动时其加速度为a₃，
则由牛顿第二定律得：F=（m₁+m₂）a₃
 a3=

qE1

m1+m2

=

6×10-5×1×104

0.1+0.2

m/s2=2m/s2
设两者间摩擦力达最大静摩擦，设小车及小物块做减速运动的加速度分别为a₄、a₅，则：
 a4=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
 a5=

qE2-μm2g

m2

=

6×10-5×104-0.4×0.1×10

0.1

m/s2=2m/s2
由于a₃=a₄=a₅，故两者不会相对滑动，而是以2m/s²的共同加速度做减速运动，直至共同速度减为零
小物块第一段运动的位移 s1=

v 2 t - v 2 0

2a1

=

62-12

2×10

m=1.75m
第二段运动的位移 s2=

v 2 共

2a共

=

12

2×2

m=0.25m
故小物块向右运动最远的位移s=1.75m+0.25m=2m
（2）当小物块及小车的速度减为零后，其受力如图，由牛顿第二定律得：

小物块的加速度 a5=

qE2-μm2g

m2

=

6×10-5×2×104-0.4×0.1×10

0.1

m/s2=8m/s2
此时小车的加速度 a6=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
设小物块经t₂秒冲出电场，此时小物块及小车速度分别为v₃与v₄．则：
对小物块∵s=

1

2

a5

t

2 2

∴t2=

2s a5

=

2×2 8

s=

2

2

s
对小物块 v3=a5t2=8×

2

2

m/s=4

2

m/s
对小车 v4=a6t2=2×

2

2

m/s=

2

m/s
当小物块冲出电场后，若不从小车上滑落，两者最终会达至共同速度，设此速度为v₅．
由系统动量守恒得：m₂v₃+m₁v₄=（m₁+m₂）v₅
 v5=

m2v3+m1v4

m1+m2

=

0.1×4 2 +0.2× 2

0.2+0.1

m/s=2

2

m/s
（3）设小车长为L，由系统能量守恒得：
 qE2s-μm2gL=

1

2

(m1+m2)

v

2 5

=6×10-5×2×104×2-0.4×0.1×10×L=

1

2

(0.2+0.1)(2

2

)2
解得：L=3m
解法二：设小车向左运动直至与小物块达到共同速度前的总位移为s₄，由于小车向左加速的加速度也始终为2m/s²，最终速度为2

2

m/s，故：s4=

v2

2a

=

(2 2 )2

2×2

m=2m
设小物块出电场后向左运动，直至与小车达到共同速度前的位移为s₆，设此过程中的加速度为a₇．则：a7=

μm2g

m2

=μg=0.4×10m/s2=4m/s2s6=

v 2 5 - v 2 3

-2a7

=

(2 2 )2-(4 2 )2

-2×4

m=

32-8

8

m=3m
因小物块向左加速运动2m后才冲出电场，故小物块向左运动的总位移s₇为s₇=s₆+2=3+2=5（m）
由此可知小物块相对小车运动的位移为s₇-s₄=5m-2m=3m
即小车长度至少为3m
答：
（1）小物块最远能向右走2m．
（2）小车、小物块的最终速度分别是

2

m/s，4

2

m/s．
（3）车的长度应为3m．

点评：本题是考查牛顿运动定律、电场力、匀变速运动规律、动量守恒定律知识，考查考生对物理过程的综合分析能力、应用数学处理物理问题的能力．