题目内容
如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L金属杆甲、乙的阻值相同，质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处，乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直．静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大小a=2gsinθ甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场．（1 ）求每根金属杆的电阻R是多大？
（2 ）从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向．
（3 ）若整个过程中，乙金属杆共产生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少？
【答案】分析：（1）根据牛顿第二定律求出乙杆开始做匀加速直线运动的加速度，从而得出乙杆进入磁场时的速度，抓住乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，结合闭合电路欧姆定律，运用共点力平衡求出电阻R的大小．
（2）根据甲杆做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律以及切割产生的感应电动势公式，求出F随时间t的关系．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，根据能量守恒定律求出甲穿过磁场区域，外力做功与产生热量的关系，乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，根据能量守恒求出乙通过磁场区域产生的热量，结合两个关系，求出外力做的功．
解答：解：（1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2，则
，L=
，
t1＜t2，即甲离开磁场时，乙还没有进入磁场．
设乙进入磁场时的速度为v1，乙中的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则
E1=Bdv1
I1=
mgsinθ=BI1d
解得
．
（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v=at
E=Bdv
I=
F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得
?t （
）
方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v，乙沿导轨运动的距离是x，甲、乙产生的热量相同，设分别为Q1，则
．
解得W=2Q1+mgLsinθ
乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，设分别为Q2，则
2Q2=mgLsinθ
根据题意有Q=Q1+Q2
解得 W=2Q．
答：（1）每根金属杆的电阻
．
（2）外力F随时间t的变化关系为
?t （
），方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）外力F对甲金属杆做的功W是2Q．
点评：解决本题的关键理清两杆在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律、切割产生的感应电动势大小公式、闭合电路欧姆定律以及能量守恒定律进行求解．
（2）根据甲杆做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律以及切割产生的感应电动势公式，求出F随时间t的关系．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，根据能量守恒定律求出甲穿过磁场区域，外力做功与产生热量的关系，乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，根据能量守恒求出乙通过磁场区域产生的热量，结合两个关系，求出外力做的功．
解答：解：（1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2，则
，L=，t1＜t2，即甲离开磁场时，乙还没有进入磁场．
设乙进入磁场时的速度为v1，乙中的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则
E1=Bdv1
I1=
mgsinθ=BI1d
解得
．（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v=at
E=Bdv
I=
F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得
?t （）方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v，乙沿导轨运动的距离是x，甲、乙产生的热量相同，设分别为Q1，则
．解得W=2Q1+mgLsinθ
乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，设分别为Q2，则
2Q2=mgLsinθ
根据题意有Q=Q1+Q2
解得 W=2Q．
答：（1）每根金属杆的电阻
．（2）外力F随时间t的变化关系为
?t （），方向垂直于杆平行于导轨向下． （3）外力F对甲金属杆做的功W是2Q．
点评：解决本题的关键理清两杆在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律、切割产生的感应电动势大小公式、闭合电路欧姆定律以及能量守恒定律进行求解．
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如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的下端接有电阻．当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒ab以平行导轨平面的初速度v0冲上导轨平面，ab上升的最大高度为H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使ab以相同的初速度从同一位置冲上导轨平面，ab上升的最大高度为h．两次运动中导体棒ab始终与两导轨垂直且接触良好．关于上述情景，下列说法中正确的是（ ）
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如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd．设两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，导轨光滑且电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速，初速大小分别为v0和2v0，求：
如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°夹角固定放置，导轨间连接一阻值为6Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场．导体棒a的质量为ma=0.4kg，电阻Ra=3Ω；导体棒b的质量为mb=0.1kg，电阻Rb=6Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距L0=0.5m处同时将它们由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场（g取10m/s2，不计a、b之间电流的相互作用）．求：
（2011?湖南模拟）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l=0.5m，导轨平面与水平面间的夹角θ=30°，整个导轨平面处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小B=0.4T，方向垂直导轨平面，在导轨上垂直导轨放置两金属棒ab和cd，长度均为0 5m，cd棒的质量m=0.2kg、电阻R=0.2Ω，不计ab棒和金属导轨的电阻，两棒与金属导轨接触良好且可沿导轨自由滑动．现ab棒在外力作用下，始终以恒定速度v=1.5m/s沿着导轨向上滑动，cd棒则由静止释放，g取10m/s2．求：