题目内容

11．如图所示，半径为L1=2m的金属圆环内上、下半圆各有垂直圆环平面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B1=$\frac{10}{π}$T．长度也为L1、电阻为R的金属杆ab，一端处于圆环中心，另一端恰好搭接在金属环上，绕着a端沿逆时针方向匀速转动，角速度为ω=$\frac{π}{10}$rad/s．通过导线将金属杆的a端和金属环连接到图示的电路中（连接a端的导线与圆环不接触，图中的定值电阻R1=R，滑片P位于R2的正中央，R2的总阻值为4R），图中的平行板长度为L2=2m，宽度为d=2m．图示位置为计时起点，在平行板左边缘中央处刚好有一带电粒子以初速度v0=0.5m/s向右运动，并恰好能从平行板的右边缘飞出，之后进入到有界匀强磁场中，其磁感应强度大小为B2，左边界为图中的虚线位置，右侧及上下范围均足够大．（忽略金属杆与圆环的接触电阻、圆环电阻及导线电阻，忽略电容器的充放电时间，忽略带电粒子在磁场中运动时的电磁辐射的影响，不计平行金属板两端的边缘效应及带电粒子的重力和空气阻力）求：

（1）在0～4s内，平行板间的电势差UMN；
（2）带电粒子飞出电场时的速度；
（3）在上述前提下若粒子离开磁场后不会第二次进入电场，则磁感应强度B2应满足的条件．

分析 （1）导体切割磁感线产生电动势，结合串并联电路特点即可求解．
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，有运动学知识求解即可．
（3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求解粒子运动半径，结合几何关系求解磁场强度大小．

解答 解：（1）金属杆产生的感应电动势恒为：
E=$\frac{1}{2}$B1L${\;}_{1}^{2}$ω=2V
由串并联电路的连接特点知：E=I•4R，U0=I•2R=$\frac{E}{2}$=1V
T1=$\frac{2π}{ω}$=20s
由右手定则知：
在0～4s时间内，金属杆ab中的电流方向为b→a，则φa＞φb，
则在0～4s时间内，φM＜φN，
UMN=-1V
（2）粒子在平行板电容器内做类平抛运动，在0～$\frac{T_1}{2}$时间内水平方向L2=v0•t1
t1=$\frac{L_2}{v_0}$=4s＜$\frac{T_1}{2}$
竖直方向$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$at${_1^2}$
又vy=at1，a=$\frac{Eq}{m}$，$E=\frac{U}{d}$
解得：$\frac{q}{m}=0.25$C/kg，vy=0.5m/s
则粒子飞出电场时的速度大小v=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m/s
tanθ=$\frac{v_y}{v_0}$=1，所以该速度与水平方向的夹角θ=45°
（3）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由B2qv=m$\frac{v^2}{r}$
得r=$\frac{mv}{{{B_2}q}}$
由几何关系及粒子在磁场中运动的对称性可知：$\sqrt{2}r$＞d时离开磁场后不会第二次进入电场，
即B2＜$\frac{{\sqrt{2}mv}}{dq}$=$\frac{{\sqrt{2}×4}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}$T=2T．
答：（1）在0～4s内，两极板间的电势差UMN为-1 V
（2）带电粒子飞出电场时的速度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ m/s，方向与水平方向的夹角为45°　
（3）磁场强度大小B2＜2 T．

点评 本题是带电粒子在电磁场中运动的典型题目，利用好粒子在其中的运动规律结合相关的公式及几何关系求解即可．

练习册系列答案
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1．如图所示，粗糙轨道AB和两个光滑半圆轨道组成的S形轨道．光滑半圆轨道半径为R，两个光滑半圆轨道连接处CD之间留有很小空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽略，粗糙轨道最高点A与水平面上B点之间的高度为5R．从A点静止释放一个可视为质点的小球，小球沿S形轨道恰好运动到最高点E后且从E点水平飞出．已知小球质量m，不计空气阻力，求：
（1）小球落点到与E点在同一竖直线上B点的距离x为多少；
（2）小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力；
（3）小球从A至E运动过程中克服摩擦阻力做的功．
2．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴沿水平方向．x＞0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1；第三象限同时存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，磁感应强度大小为B2，电场强度大小为E．x＞0的区域固定一与x轴成θ=30°角的绝缘细杆．一穿在细杆上的带电小球a沿细杆匀速滑下，从N点恰能沿圆周轨道运动到x轴上的Q点，且速度方向垂直于x轴．已知Q点到坐标原点O的距离为$\frac{3}{2}$l，重力加速度为g，B1=7E$\sqrt{\frac{1}{10πgl}}$，B2=E$\sqrt{\frac{5π}{6gl}}$．空气阻力忽略不计，求：
（1）带电小球a的电性及其比荷$\frac{q}{m}$；
（2）带电小球a与绝缘细杆的动摩擦因数μ；
（3）当带电小球a刚离开N点时，从y轴正半轴距原点O为h=$\frac{20πl}{3}$的P点（图中未画出）以某一初速度平抛一个不带电的绝缘小球b，b球刚好运动到x轴与向上运动的a球相碰，则b球的初速度为多大？
19．下列说法中正确的是（　　）
A．在α粒子散射实验的基础上卢瑟福提出了原子的核式结构模式
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6．如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（　　）
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C．A受到的合外力一直在增大
D．B受到的静摩擦力先增大，后保持不变
16．如图，竖直平面内放着两根间距L=1m、电阻不计的足够长平行金属板M、N，两板间接一阻值R=2Ω的电阻，N板上有一小孔Q，在金属板M、N及CD上方有垂直纸面向里的磁感应强度B0=1T的有界匀强磁场，N板右侧区域KL上、下部分分别充满方向垂直纸面向外和向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1=3T和B2=2T．有一质量M=0.2kg、电阻r=1Ω的金属棒搭在MN之间并与MN良好接触，用输出功率恒定的电动机拉着金属棒竖直向上运动，当金属棒达最大速度时，在与Q等高并靠近M板的P点静止释放一个比荷$\frac{q}{m}$=1×104C/kg的正离子，经电场加速后，以v=200m/s的速度从Q点垂直于N板边界射入右侧区域．不计离子重力，忽略电流产生的磁场，取g=10m/s2．求：
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（1）画出等效电路图；
（2）计算两层电介质所损耗的功率；
（3）计算两介质交界面处的净电荷量；
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A．F1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg
B．F2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg
C．在小球A下降的过程中，细线的拉力逐渐增大
D．在小球A下降的过程中，细线的拉力逐渐减小

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