Question

8．如图所示，相距L的两小球A、B位于同一高度h（L、h均为定值）．将A向B水平抛出的同时，B自由下落，A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变．方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间．匀强电场方向水平向右，场强大小为E，小球A、B质量均为m，A带电量为+q，小球B不带电．水平地面绝缘，重力加速度取g．求：
（1）要使A、B两小球在第一次落地前相遇，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件．
（2）要使A、B两小球在最高点相遇，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件．
（3）若B带电量为+2q，要使B球第3次落地时被A追上，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）两球在竖直方向都做自由落体运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出两球相遇的时间t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．要使A、B两小球在第一次落地前相遇，A球的水平位移必须满足x_水＞L．根据位移时间公式列式求解．
（2）A、B两小球在最高点相遇时，所用时间应为 t_总=2nt（n=1，2，3…），且x_水=L，根据位移时间公式求解．
（3）要使B球第3次落地时被A追上时，所用时间为 t₃=5t．两球的水平位移关系为 x_A-x_B=L，由牛顿第二定律求出B球的水平分加速度，根据位移公式和位移关系求解．

解答 解：（1）两球在竖直方向均有 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
对于A球：水平方向有 F_电=qE=ma_水，得
 a_水=$\frac{qE}{m}$
水平位移大小 x_水=v₀t+$\frac{1}{2}$a_水t²=v₀t+$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t²；
根据题意，有x_水＞L
解得 v₀＞$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L-$\frac{qEh}{mg}$）
（2）A、B两小球在最高点相遇时，所用时间 t_总=2nt（n=1，2，3…）
x_水=L
即v₀t_总+$\frac{1}{2}$a_水t_总²=v₀t_总+$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t_总²=L
解得 v₀=$\frac{1}{2n}$（L-$\frac{4{n}^{2}qEh}{mg}$），（n=1，2，3…）
（3）要使B球第3次落地时被A追上时，所用时间为 t₃=5t
B球水平分加速度为 a_B=$\frac{E•2q}{m}$=$\frac{2qE}{m}$
追上时位移关系为 x_A-x_B=L
即v₀t₃+$\frac{1}{2}$$•\frac{qE}{m}$t₃²-$\frac{1}{2}{a}_{B}{t}_{3}^{2}$=L
解得 v₀=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L+$\frac{12Eqh}{mg}$）
答：
（1）要使A、B两小球在第一次落地前相遇，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件为v₀＞$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L-$\frac{qEh}{mg}$）．
（2）要使A、B两小球在最高点相遇，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件为v₀=$\frac{1}{2n}$（L-$\frac{4{n}^{2}qEh}{mg}$），（n=1，2，3…）．
（3）若B带电量为+2q，要使B球第3次落地时被A追上，A水平抛出的初速度v₀应满足的条件为v₀=$\frac{1}{5}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（L+$\frac{12Eqh}{mg}$）．

点评 本题运用运动的分解法研究两球的运动规律和相遇条件，要知道两球竖直方向都做自由落体运动，关键要抓住相遇时位移必须满足的条件，由牛顿第二定律和运动学规律结合解答．