题目内容
为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先在离该星球中心距离为r的圆轨道上运动，经测定周期为T；随后登陆舱脱离飞船，变轨到贴近该星球表面的圆轨道上运动，展开对该星球的探测，此时登陆舱的速度即为该星球的第一宇宙速度．已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量．
（2）该星球的第一宇宙速度．
（1）该星球的质量．
（2）该星球的第一宇宙速度．
分析：1、根据万有引力提供向心力G
=m(
)2r，可解得该星球的质量M．
2、该星球的第一宇宙速度为该星球的近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力G
=m0
，结合求得M，化简可得第一宇宙速度．
| Mm |
| r2 |
| 2π |
| T |
2、该星球的第一宇宙速度为该星球的近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力G
| Mm0 |
| R2 |
| v2 |
| R |
解答：解：（1）设该星球的质量为M，探测飞船的质量为m，由万有引力提供向心力得：
G
=m(
)2r
解得：M=
（2）设登陆舱的质量为m0，在贴近该星球表面的圆形轨道上运动的线速度为v，由万有引力提供向心力得：
G
=m0
联立上式解得：v=
答：（1）该星球的质量为
．
（2）该星球的第一宇宙速度为
．
G
| Mm |
| r2 |
| 2π |
| T |
解得：M=
| 4π2r3 |
| GT2 |
（2）设登陆舱的质量为m0，在贴近该星球表面的圆形轨道上运动的线速度为v，由万有引力提供向心力得：
G
| Mm0 |
| R2 |
| v2 |
| R |
联立上式解得：v=
| 2πr |
| T |
|
答：（1）该星球的质量为
| 4π2r3 |
| GT2 |
（2）该星球的第一宇宙速度为
| 2πr |
| T |
|
点评：本题要掌握万有引力提供向心力G
=m(
)2r，结合题意要能正确的选择向心力的表达式，从而计算中心天体的质量，这是计算天体质量的一种重要的方法．
| Mm |
| r2 |
| 2π |
| T |
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