Question

如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数为k的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A（可视为质点），物块与圆盘间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为L₀，若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，物块A始终与圆盘一起转动．则：
（1）圆盘的角速度多大时，物块A将开始滑动？
（2）当圆盘角速度缓慢地增加到4

μg L0

时，弹簧的伸长量是多少？（弹簧伸长在弹性限度内且物块未脱离圆盘）

Answer 1

分析：（1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω₀．
（2）当角速度达到2ω₀时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x．

解答：解：（1）设盘的角速度为ω₀时，物块A将开始滑动，则
μmg=mRω₀²时   
解得  ω0=

μg L0

（2）设此时弹簧的伸长量为△x，则
μmg+k△x=mrω²，r=R+△x，
解得  △x=

15μmgL0

kL0-16μmg

答：（1）圆盘的角速度为

μg L0

时，物块A将开始滑动；
（2）当圆盘角速度缓慢地增加到4

μg L0

时，弹簧的伸长量是

15μmgL0

kL0-16μmg

．

点评：当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．