Question

（2013?南通一模）某农田自动灌溉的喷射装置的截面图如图所示，它主要由水泵、竖直的细输水管道和喷头组成，喷头的喷嘴（长度可忽略不计）离地面的高度为h．水泵启动后，水从水池通过输水管道压到喷嘴并沿水平方向喷出，在地面上的落点与输水管道中心的水平距离为R，此时喷嘴每秒钟喷出水的质量为m₀，整个供水系统的效率恒为η，忽略水池中水泵与地面的高度差，不计水进入水泵时的速度以及空气阻力，重力加速度为g．
（1）求水从喷嘴喷出时的速率v；
（2）求水泵的功率P；
（3）若要浇灌离输水管道中心R₁处的蔬菜，求喷嘴每秒钟喷出水的质量m₁和水泵的功率P₁．

Answer 1

分析：（1）根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，求出水从喷嘴喷出时的速率．
（2）水泵所做的功与效率的乘积等于水动能和重力势能的增加，根据能量守恒求出水泵的功率P．
（3）根据平抛运动的规律求出平抛运动的初速度，从而通过密度公式，求出单位时间内喷出水的质量．根据能量守恒求出水泵的功率P₁．

解答：解：（1）水从喷嘴喷出后作平抛运动，则
R=vt，h=

1

2

gt2
解得 v=R

g 2h

（2）设在△t时间内出水质量为m，由功能关系有ηP△t=

1

2

mv2+mgh
且有  m0=

m

△t

解得  P=

m0g(R2+4h2)

4hη

（3）设水的密度为ρ，速度为v₁，喷嘴的横截面积为S，则m₀=ρSv，m₁=ρSv₁
由平抛运动有 R₁=v₁t，h=

1

2

gt2
解得  m1=

R1

R

m0
由   ηP1△t=

1

2

m

v

2 1

+mgh
解得  P1=

m0gR1( R 2 1 +4h2)

4hRη

答：（1）水从喷嘴喷出时的速率v=R

g 2h

．
（2）水泵的功率P=

m0g(R2+4h2)

4hη

．
（3）喷嘴每秒钟喷出水的质量m1=

R1

R

m0，水泵的功率P1=

m0gR1( R 2 1 +4h2)

4hRη

．

点评：解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律．以及能够灵活运用能量守恒定律进行求解．