Question

20．如图为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为r，周期为T．长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期每隔t时间发生一次最大偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离，由此可推测未知行星B的运动轨道半径为（　　）

• A． $\frac{t}{t-T}$r
• B． r（$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$
• C． r（$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• D． r（$\frac{t-T}{T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期每隔t时间发生一次最大偏离，知每隔t时间A、B两行星相距最近，可以求出B的周期，再根据万有引力提供向心力，得出轨道半径．

解答 解：周期每隔t时间发生一次最大偏离，知每隔t时间A、B两行星相距最近，即每隔t时间A行星比B行星多运行一圈．有：
$\frac{2π}{T}t-\frac{2π}{{T}_{B}}t=2π$，
则${T}_{B}=\frac{tT}{t-T}$，
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{r}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{T}^{2}}}$，
则r_B=$r\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{2}}$，故B正确，A、C、D错误．
故选：B．

点评 解决本题的关键知道每隔t时间发生一次最大偏离，知每隔t时间A、B两行星相距最近，而得出每隔t时间A行星比B行星多运行一圈．以及会利用万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$进行求解．