Question

质量均为m的小球B用一根轻质弹簧竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示．设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比．小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们达到最低点后又向上运动，已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设两个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆管内径），求：
（1）两个小球及弹簧组成的系统在上述过程中机械能是否守恒；
（2）弹簧初始时刻的机械能；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据系统机械能守恒的条件判断在各个过程中是否守恒即可；
（2）弹簧从原长压缩到x₀的过程中，弹簧力与位移成线性关系，求出克服弹簧力的功，最大弹力等于物体的重力，且克服弹簧力的功等于弹簧增加的弹性势能，所以，弹簧被压缩后即初始时刻的弹性势能；
（3）当弹簧的弹力等于A、B两球的总重力时，小球A、B的速度最大，根据力的平衡求出两球下降的距离，再对系统运用机械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）整个系统在A下落到与B碰撞前，只有重力做功，机械能守恒；AB碰撞的过程中，系统机械能不守恒；AB碰撞后至回到O点过程中，机械能守恒；
（2）弹簧从原长压缩到x₀的过程中，弹簧力与位移成线性关系，所以，克服弹簧力的功可以由平均力求出：W=

Fm

2

x₀，
最大弹力等于物体的重力，且克服弹簧力的功等于弹簧增加的弹性势能，所以，弹簧被压缩后即初始时刻的弹性势能EP=W=

1

2

mgx0   
（3）设A与B接触时的速度为v₁，由机械能守恒，
mg?3x₀=

1

2

mv12，
解得：v1=

6gx0

二物体相碰过程动量守恒m  v₁=2mv₂，粘合后速度  v2=

1

2

6gx0

．
A和B粘合后加速下行，当弹簧弹力等于二物体总重力时速度达到最大，此时弹簧压缩量为2x₀，设最大速度为v_m．设达到最大速度时弹簧的弹性势能为E′_P，由题设条件可知
E′_P=4E_P=2mgx₀
二物体粘合后机械能守恒，取速度最大处为零势能面，则
EP+

1

2

×2mv22+2mgx0=E′P+

1

2

×2mvm2
解得vm=

2gx0

    
答：（1）整个系统在A下落到与B碰撞前，机械能守恒；AB碰撞的过程中，系统机械能不守恒；AB碰撞后至回到O点过程中，机械能守恒；
（2）弹簧初始时刻的机械能为

1

2

mgx0；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值为

2gx0

．

点评：本题综合运用了动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律，综合性较强，关键是选择好研究的过程，运用合适的规律列表达式求解．