题目内容
如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ）
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2
，则此时小球对管道的外壁有作用力D．如果小球在最低点时的速度大小为
，则此时小球对管道的内壁有作用力
【答案】分析：圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．小球在最高点时的速度大小为2
，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．小球从最低点运动到最高点的过程中，只有重力做功，其机械能守恒．在最低点时的速度大小为
，根据机械能守恒定律求出小球到达最高点时的速度，再由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．
解答：解：A、圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．故A正确，B错误．
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得：
，
，解得F=3mg，方向竖直向下．根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力．故C正确．
D、设小球在最低点和最高点的速度分别为v1、v2．根据机械能守恒定律得
=
，解得
．
由牛顿第二定律得：mg+N=m
，解得N=0．故D错误．
故选AC．
点评：本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为
．
，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．小球从最低点运动到最高点的过程中，只有重力做功，其机械能守恒．在最低点时的速度大小为，根据机械能守恒定律求出小球到达最高点时的速度，再由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．解答：解：A、圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．故A正确，B错误．
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得：
，，解得F=3mg，方向竖直向下．根据牛顿第三定律得知：小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力．故C正确．D、设小球在最低点和最高点的速度分别为v1、v2．根据机械能守恒定律得
=，解得．由牛顿第二定律得：mg+N=m
，解得N=0．故D错误．故选AC．
点评：本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为
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数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
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