Question

水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形ABCD；摆长4a的摆，悬挂在A点，如图所示，开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为7mg；若以初速度v₀竖直向下将摆球从P点抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点．求v₀的许可值范围（不计空气阻力）．

Answer 1

分析：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．根据动能定理求出摆球沿半径4a运动到最低点时的速度、沿半径3a运动到水平位置时的速度，根据牛顿第二定律求出摆球经过这两个位置时摆线的拉力，当摆球绕C点以半径2a运动到最高点时，要能沿圆弧运动，摆球经过最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得临界速度，根据动能定理求出摆球经过最高点时v₀的最小值．当摆球开始绕D点以半径R₄=a作圆周运动时，当摆线拉力达到最大，求出初速度的最大值，即可v₀的范围．

解答：解：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．

①当摆球从P点开始，沿半径4a运动到最低点时的速度v₁，
根据动能定理：4mga=

1

2

mv12-

1

2

mv012
当摆球开始以v₁绕B点以半径3a作圆周运动时，摆线拉力为T₁：
这时摆球的运动方程为：T1-mg=m

v12

3a

摆线的最大拉力为：T_max=7mg；
由此求得：v₀₁＜

10ga

．
②当摆球从B点开始，沿半径3a运动到水平位置时的速度v₂，
根据动能定理：mga=

1

2

mv22-

1

2

mv022
当摆球开始以v₂绕C点以半径2a作圆周运动时，摆线拉力为T₂：
这时摆球的运动方程为：T2=m

v22

2a

摆线的最大拉力为：T_max=7mg；
由此求得：v₀₂＜

12ga

．
③当摆球绕C点以半径2a运动到最高点时，为确保沿圆周运动，
到达最高点有：mg=m

v32

2a

v3≥

gR3

=

2ga

．
由动能定理：-mga=

1

2

mv32-

1

2

mv0_2
由此求得：v₀₃＞2

ga

④当摆球运动到水平位置时，击中A点时的速度v₀₄，
根据动能定理：0=

1

2

mv42-

1

2

mv042
当摆球开始以v₄绕D点以半径R₃=a作圆周运动时，摆线拉力为T₃：
这时摆球的运动方程为：T3=m

v42

a

摆线的最大拉力为：T_max=7mg；
由此求得：v₀₄＜

7ga

．
综上所述：2

ga

＜v0＜

7ga

．
答：v₀的许可值范围为：2

ga

＜v0＜

7ga

．

点评：本题是动能定理与向心力临界条件的结合，关键是分析摆球的运动过程，把握临界条件．