Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图甲）．我们把这种情况抽象为图乙的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端无初速滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动（不计摩擦和空气阻力），其中A、B分别为圆轨道的最低点和最高点．若质量为m的小球从曲面轨道上的P点由静止开始下滑，并且可以顺利通过半径为R的圆轨道的最高点A．已知P点与B点的高度差h=3R，求：
（1）小球通过B时速度有多大？
（2）小球通过B点时受到圆轨道支持力有多大？
（3）若小球在运动中需要考虑摩擦和空气阻力，当小球从P点由静止开始下滑，且刚好通过最高点A，则小球从P点运动到A点的过程中克服摩擦和空气阻力所做的功为多少？

Answer 1

分析：（1）欲求B点的速度，只需对于P到B过程应用动能定理或者是机械能守恒都可以；
（2）先以小球为研究对象，利用牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力
（3）首先求出刚好能通过最高点A点时的临界速度，再应用动能定理就可以了．

解答：解：（1）设小球在最低点的速度为V，由动能定理得：
       mgh=

1

2

mv²
       得V=

2gh

=

6gR

  
（2）在B点由向心力定义和牛顿第二定律得：
     F-mg=m

v2

R

     联立得F=7mg
 （3）设小球刚好在A点的速度为V₀，由向心力定义和牛顿第二定律得：
      mg=m

v 2 0

R

    即V₀=

gR

      设小球从P点运动到A点的过程中克服摩擦和空气阻力所做的功W，由动能定理得：
       mg（h-2R）+W=

1

2

mV₀²
       得  W=-0.5mgR
      所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通过最低点B时速度V=

6gR

    （2）小球通过B点时受到圆轨道的压力F′=7mg
    （3）小球从P点运动到A点的过程中克服摩擦和空气阻力所做的功为0.5mgR．

点评：本题考查动能定理和圆周运动中向心力的分析，第三问中小球在A点的临界速度是关键．这是一道综合性较强的好题．