Question

如图所示，半径为r、圆心为O₁的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一竖直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在MN板中央各有一个小孔O₂、O₃、O₁、O₂、O₃在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阴形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中，有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（重力不计），以速率v₀从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O₃射出．现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后粒子恰好不能从O₃射出，而从圆形磁场的最高点F射出．求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′．
（2）导体棒的质量M．
（3）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热．

Answer 1

分析：（1）粒子从E射入圆形磁场区域，从小孔O₃射出，在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出半径，再由牛顿第二定律求出B．
（2）粒子恰好不能从O₃射出时，到达O₃速度为零．根据能量守恒定律求出此时板间电压．对导体棒，由平衡条件求出质量M．
（3）由于棒的电阻不计，导体棒两端的电压等于感应电动势．根据E=BLv公式，求出棒匀速运动时的速度，由能量守恒定律求得电阻上产生的电热．

解答：解：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，由于粒子转过

1

4

圆周，所以轨迹半径等于圆形区域的半径r．
由牛顿第二定律得
   qv 0B′=m?

v 2 0

r

得 B′=

m v   0

qr

（2）根据题意粒子恰好不能从O₃射出时到达O₃速度为零．则由能量守恒定律得
  

1

2

m

v

2 0

=qUPQ
PQ做匀速运动时，则有 Mg=B?

U

R

?L
由③④得M=

BLm

2gqR

v

2 0

（3）导体棒匀速运动时，速度大小为V_m，U_PQ=BLv_m
代入③中得：V m=

m v 2 0

2qBL

由能量守恒：QR=Mgh-

1

2

M

V

2 m

解得QR=

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

答：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′为

mv0

qr

．
（2）导体棒的质量M为

BLm

2gqR

v

2 0

．
（3）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热为

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

．

点评：粒子在磁场中运动的问题，关键是确定轨迹半径；导体棒导体切割类型，是电磁感应、电路与力学知识的综合，从力和能两个角度研究．