Question

（2007?广东）如图（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上．圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B₀，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B（t），如图（b）所示，两磁场方向均竖直向上．在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t₀滑到圆弧底端．设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？
（2）求0到时间t₀内，回路中感应电流产生的焦耳热量．
（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B₀的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）由图看出，左段区域中磁感应强度随时间线性变化，其变化率一定，由法拉第电磁感应定律得知，回路中磁通量的变化率相同，回路中产生恒定的电流．
（2）由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势，根据欧姆定律和焦耳定律结合求解焦耳热．
（3）在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B₀的一瞬间，在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律E=

△Φ

△t

，及v=

△x

△t

，△Φ=B₀L△x+L²△B（t），I=

E

R

求出感应电流的表达式，再进行讨论．

解答：解：（1）感应电流的大小和方向均不发生改变．因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相同．
（2）0-t₀时间内，设回路中感应电动势大小为E₀，感应电流为I，感应电流产生的焦耳热为Q，由法拉第电磁感应定律：E0=

△Φ

△t

=L2

B0

t0

根据闭合电路的欧姆定律：I=

E0

R

  由焦耳定律
有：Q=I²Rt₀=

L4 B 2 0

t0R

（3）设金属进入磁场B₀一瞬间的速度为v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：mgH=

1

2

mv2
在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场B₀区域瞬间的感应电动势为E，则：
 E=

△Φ

△t

，v=

△x

△t

△Φ=B₀L△x+L²△B（t）         
由闭合电路欧姆定律得：I=

E

R

解得感应电流：I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

根据上式讨论：
I．当

2gH

=

L

t0

时，I=0；
II．当

2gH

＞

L

t0

时，I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

，方向为b→a；
III．当

2gH

＜

L

t0

时，I=

B0L( L t0 - 2gH )

R

，方向为a→b．
答：
（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向均不发生改变．
（2）0到时间t₀内，回路中感应电流产生的焦耳热量是

L4 B 2 0

t0R

．
（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B₀的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向分别为：
I．当

2gH

=

L

t0

时，I=0；
II．当

2gH

＞

L

t0

时，I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

，方向为b→a；
III．当

2gH

＜

L

t0

时，I=

B0L( L t0 - 2gH )

R

，方向为a→b．

点评：本题中（1）（2）问，磁通量均匀变化，回路中产生的感应电动势和感应电流均恒定，由法拉第电磁感应定律研究感应电动势是关键，第3问中，既感生电动势，又动生电动势，两个电动势方向相反，要进行讨论才能确定感应电流的方向．