Question

（2010?上海）如图，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M（M?m₁，M?m₂），在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r_a：r_b=1：4，则它们的周期之比T_a：T_b=

1：8

，从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线有

14

次．

Answer 1

分析：质点a、b均在c点的万有引力的作用下绕c做圆周运动，由F_引=F_向，可求出周期比，每多转半圈，三质点共线一次，可先求出多转半圈的时间，与总时间相比，得出三点共线次数．

解答：解：万有引力提供向心力，则有：G

Mm1

r 2 b

=m1ra

4π2

T 2 a

，G

Mm2

r 2 b

=m2rb

4π2

T 2 b

；
所以T_a：T_b=1：8；
设每隔时间t，a、b共线一次，则（ω_a-ω_b）t=π，所以t=

π

ωa-ωb

；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n=

Tb

t

=

Tb(ωa-ωb)

π

=Tb(

2

Ta

-

2

TB

) =

2Tb

Ta

-2=14．
故答案为：1：8，14．

点评：本题根据向心力来源列式，即可求出周期之比；第二问中，可以以质点b、c系统为参考系，则a质点转动7圈，共线14次．