Question

如图所示，板间距为d、板长为L的两块平行金属板EF、GH水平放置，在紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，三角形底边BC与GH在同一水平线上，顶点A与EF在同一水平线上．一个质量为m、电量为-q的粒子沿两板中心线以初速度v₀水平射入，若在两板之间加某一恒定电压，粒子离开电场后垂直AB边从D点进入磁场，BD=

1

4

AB，并垂直AC边射出（不计粒子的重力），求：
（1）粒子离开电场时瞬时速度的大小；
（2）两极板间电压的大小和三角形区域内磁感应强度；
（3）若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向里，要使粒子进入磁场区域后能从AB边射出，试求所加磁场的磁感应强度最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子离开电场后速度垂直AB边，由几何知识可求出速度的偏向角，根据速度的分解则能求出粒子离开电场时瞬时速度的大小；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式求出电压．粒子垂直进入三角形区域内匀强磁场后做匀速圆周运动，画出轨迹，由于粒子垂直AB边射入和AC边射出，由几何知识求出粒子圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力求出三角形区域内磁感应强度；
（3）若两板间不加电压，三角形区域内的磁场方向垂直纸面向里，当粒子刚好与BC边相切时，磁感应强度最小，作出轨迹，由几何知识求出最小半径，由牛顿第二定律即可求出磁感应强度的最小值．

解答：解：（1）垂直AB边进入磁场，由几何知识得：粒子离开电场时偏转角为θ=30°
则粒子离开电场时瞬时速度的大小为：v=

v0

cosθ

=

2 3

3

v0
（2）在电场中竖直方向：v_y=

qU

md

(

L

v0

)
由几何关系得：tanθ=

vy

v0

故：U=

3 md v 2 0

3qL

由几何关系得：L_AB=

d

cos30°

设在磁场中运动半径为r₁，则：r₁=

3

4

LAB=

3

2

d
又：B₁qv=m

v2

r1

而：v=

v0

cosθ

=

2 3

3

v0
以上式子联立得：B₁=

4mv0

3qd

由左手定律判断得知，B₁的方向：垂直纸面向外

（3）当粒子刚好与BC边相切时，磁感应强度最小，设粒子的运动半径为r₂，
由几何知识知：r₂=

d

4

B₂qv₀=m

v 2 0

r2

故：B₂=

4mv0

qd

，即磁感应强度的最小值
答：（1）粒子离开电场时瞬时速度的大小为

2 3

3

v0；
（2）两极板间电压的大小为

3 md v 2 0

3qL

，三角形区域内磁感应强度为

4mv0

3qd

，方向：垂直纸面向外
（3）所加磁场的磁感应强度最小值为

4mv0

qd

．

点评：本题粒子先在电场中偏转，运用运动的分解法研究；后在磁场中做匀速圆周运动，画轨迹、几何知识求出半径是常用的方法和思路．