Question

如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B 两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂。已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg。求T₂与T₁两者平方之比．(结果保留3位小数)

Answer 1

解：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T
根据万有引力定律有F＝G ①
由匀速圆周运动的规律得F＝ ②    F＝ ③
由题意得L＝R＋r ④
联立①②③④式得T＝2π ⑤
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T₁＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则 ⑦
式中，T₂为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T₂＝2π ⑧  
由⑥⑧式得
代入题给数据得＝1.012