题目内容

20．如图所示，ABC为竖直平面内半径R=0.2m的圆弧轨道，A为轨道入口，B为最低点，C为最高点，O为圆心，一质量m=1kg的小球从P点以v0=4m/s的速度水平抛出，已知P点与A点的高度差h=0.8m，小球恰好从A点沿圆弧轨道切线方向进入圆弧，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2．
（1）求小球到A点时速度v1的大小和P点与A点的水平距离x的值；
（2）求AB段圆弧对应圆心角θ的大小；若改变小球初速度大小，使它从不同位置水平抛出，但小球仍恰好能从A点沿圆弧切线方向进入圆弧轨道，试确定高度差h′和水平距离x′的大小关系．
（3）若小球到达C点时的速度为v2=2m/s，求小球在C点时对轨道压力的大小．

分析 （1）求小球从P点到A的做的是平抛运动，根据平抛运动的规律即可求解；
（2）小球能从A点沿圆弧切线进入圆弧轨道，说明速度的方向一定沿着圆弧的方向，从而确定高度差h′和水平距离x′的大小关系．
（3）在C点时重力与压力的合力作为向心力，根据向心力的公式来求小球在C点时对轨道压力的大小．

解答 解：（1）由平抛运动规律可知：
vy=$\sqrt{2gh}$=4m/s
v1=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=4$\sqrt{2}$m/s
所以小球到A点时速度v1的大小为4$\sqrt{2}$m/s
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.4s
x=v0t=1.6m
P点与A点的水平距离x的值为1.6m
（2）AB段圆弧对应圆心角θ为：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得θ=45°
小球能从A点沿圆弧切线进入圆弧轨道，应始终有：vy=v0，
由平均速度公式可知：
x′=2h′
（3）在C点对小球受力分析，有牛顿第二定律可知：
F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：F=10N
小球在C点时对轨道压力的大小为10N
答：（1）小球到A点时速度v1的大小为4$\sqrt{2}$m/s，P点与A点的水平距离x为1.6m；
（2）高度差h′和水平距离x′的大小关系为x′=2h′．
（3）小球在C点时对轨道压力的大小为10N．

点评 本题考查了小球的初速度、水平与竖直位移、小球对轨道的压力，分析清楚小球运动过程、应用运动的合成与分解、运动学公式、牛顿第二定律即可正确解题．

练习册系列答案
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（3）当角速度为$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$，转盘对物体的摩擦力及绳子对物体拉力的大小．
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