Question

18．如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，框架间距为l，EF间有电阻R₁=6R和R₂=3R．金属棒MN长也为l，电阻为R，沿框架以速度v从靠近EF的位置开始，向右匀速运动．除了电阻R₁、R₂和金属棒MN外，其余电阻不计．开始磁感应强度大小为B₀，求：
（1）金属棒MN的感应电动势多大？回路EFMN的电流大小和方向如何？
（2）电阻R₁消耗的电功率多大？当运动到金属棒MN与边EF相距为d时，流过R₁的电荷量为多少？
（3）当运动到金属棒MN与边EF相距为d时，记为t=0时刻，保持导体棒的速度不变．为使MN棒中不产生感应电流，磁感应强度B随时间t发生变化，请推导B与t的关系式．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由右手定则判断电流方向．
（2）由电功率公式求出电功率，应用电流的定义式求出通过电阻的电荷量．
（3）穿过闭合回路的磁通量不变时不产生感应电流，根据感应电流产生的条件求出B与t的关系．

解答 解：（1）感应电动势：E=B₀lv，
外电路电阻：R_外=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=2R，
电路电流：I=$\frac{E}{R+{R}_{外}}$=$\frac{{B}_{0}lv}{3R}$，
由右手定则可知，回路EFMN感应电流方向：沿逆时针方向；
（2）电阻R₁两端电压：U₁=IR_并=$\frac{2{B}_{0}lv}{3}$，
电阻R₁消耗的电功率：P₁=$\frac{{U}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{2{B}_{0}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{27R}$，
通过R₁的电流：I₁=$\frac{{U}_{1}}{{R}_{1}}$=$\frac{{B}_{0}lv}{9R}$，
时间：t=$\frac{d}{v}$，
通过R₁的电荷量：
q=I₁t=$\frac{{B}_{0}ld}{9R}$；
（3）穿过回路的磁通量不变时不产生感应电流，
即：B₀ld=Bl（d+vt），解得：B=$\frac{{B}_{0}d}{d+vt}$；
答：（1）金属棒MN的感应电动势为B₀lv，回路EFMN的电流大小为$\frac{{B}_{0}lv}{3R}$，方向：沿逆时针方向；
（2）电阻R₁消耗的电功率为$\frac{2{B}_{0}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{27R}$，当运动到金属棒MN与边EF相距为d时，流过R₁的电荷量为$\frac{{B}_{0}ld}{9R}$；
（3）磁感应强度B随时间t发生变化关系为：B=$\frac{{B}_{0}d}{d+vt}$．

点评 本题是一道电磁感应与电学相结合的综合题，应用E=BLv、欧姆定律、电功率公式、产生感应电流的条件即可解题．