Question

如图所示，A、B两平行金属板之间的距离为L，在A板的正中央开有一小孔．开始时，在两板间加上一定电压U₁，在小孔正下方、两板的正中间P点处静止一带电小液滴a．从t=0时刻开始，每隔相同时间就有一不带电的液滴从小孔正上方L高的K点处由静止开始落下，这些液滴按下落的先后次序依次标记为b、c、d、…当液滴b与液滴a相碰时，液滴c从K处开始下落，同时A、B间的电压增大到另一数值U₂．a与b在很短时间内合为一较大液滴Ⅰ以后在P点与液滴c相遇，并在很短时间内合为更大的液滴Ⅱ．已知a、b、c、d等液滴的质量都相等，液滴相碰前后的总质量和电荷量都保持不变，忽略空气阻力．问：液滴d与液滴Ⅱ在什么位置相碰？

Answer 1

分析：液滴a开始静止于P点，重力等于电场力，当b与a合为Ⅰ后，电场增强，液滴Ⅰ将以一定的速度向下做匀减速运动，并返回到P点时与c液滴相碰而合为液滴Ⅱ，由动量守恒定律计算碰后Ⅰ的速度，又有匀变速运动规律求解液滴Ⅰ返回P点的速度，由动量守恒定律计算c与液滴Ⅰ碰后的共同速度，液滴Ⅱ将在电场中加速向上运动并最终于d相碰，由位移关系求解想碰的位置．

解答：解：设液滴从K到P的时间为T，到达P时速度为v₀，则：

3L

2

=

1

2

gT²①
v₀=gT  ②
液滴a、b相碰后变为液滴Ⅰ，设液滴Ⅰ速度为v₁，由动量守恒定律得：
mv₀=2mv₁③
液滴I的初速度方向竖直向下，依题意知，液滴I经T时间到达P点；而液滴I所受重力和电场力保
持不变．所以液滴I必定做匀减速直线运动，其加速度方向竖直向上，并且它回到P点时速度的大小v₂满足：
v₂=v₁方向竖直向上 ④
设液滴I的加速度为a₁，取竖直向下为正方向，得
a1=

-v2-v1

T

⑤
代人①②③④⑤式，得
a₁=-g    ⑥
液滴I与液滴c在P点处相碰，变为液滴Ⅱ，设液滴Ⅱ速度为v₃，有
2m（-v₂）+mv₀=3mv₃ ⑦
 由①②③④⑦得
v₃=0⑧
液滴a开始静止于P点，故有：
mg-

qU1

L

=0  ⑨
液滴Ⅰ做匀减速运动，有牛顿运动定律得：
2mg-

qU2

L

=2ma₁ ⑩
由⑥⑨⑩解得：
U₂=4U₁ （11）
液滴Ⅱ将做初速为0，加速度竖直向上的匀加速直线运动，加速度大小为a₂，则：
由   

qU2

L

-3mg=3ma2 （12）
由⑥（11）（12）解得：a2=

g

3

（13）
液滴Ⅱ和液滴d同时从静止开始相向运动，经t时间相遇，则：

1

2

a2t2+

1

2

 gt²=

3L

2

解得液滴Ⅱ的位移大小为：s=

1

2

a2t2=

3L

8

即液滴d与液滴Ⅱ相碰位置在小孔正下方，与小孔的距离为：h=

L

2

-

3L

8

=

L

8

答：滴d与液滴Ⅱ在小孔正下方

L

8

位置相碰．

点评：本题关键是挖掘隐含条件（液滴a开始静止于P点，重力等于电场力），分析清楚液滴碰后的运动情景，应用动量守恒定律结合牛顿第二定律列好位移方程，涉及方程较多，难度较大