题目内容
（2011?吉安模拟）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，引力常量为G．不考虑其它星体对飞船的影响，求：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运动周期．
（3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．
分析：根据万有引力提供向心力，分析飞船环月运行时的线速度、周期、向心加速度跟半径存在什么关系．本题先考虑飞船为何绕月球做匀速圆周运动，后用万有引力提供向心力列方程求飞船周期，再利用开普勒第三定律求时间．
解答：解：（1）在轨道I有G
=m
（1）
在轨道II上有G
=m
（2）
（1）÷（2）得：
=
（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有
G
=m
4R （3）
在月球表面有 G
=mg1 （4）
联立（3）（4）解得：T1=16π
（5）
（3）设飞船在轨道II上的运动周期T2，轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得
=
（6）
由（5）（6）可解得：T2=7.9π
飞船从A到B的飞行时间为t=
=4π
答：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为1：2；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运动周期T1=16π
；
（3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间=4π
．
| Mm |
| (4R)2 |
| ||
| 4R |
在轨道II上有G
| Mm |
| R2 |
| ||
| R |
（1）÷（2）得：
| v1 |
| vm |
| 1 |
| 2 |
（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有
G
| Mm |
| (4R)2 |
| 4π2 | ||
|
在月球表面有 G
| Mm |
| R2 |
联立（3）（4）解得：T1=16π
|
（3）设飞船在轨道II上的运动周期T2，轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得
| ||
| (2.5R)3 |
| ||
| (4R)3 |
由（5）（6）可解得：T2=7.9π
|
飞船从A到B的飞行时间为t=
| T2 |
| 2 |
|
答：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为1：2；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运动周期T1=16π
|
（3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间=4π
|
点评：本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．
练习册系列答案
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