Question

一名宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量，做了如下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v竖直向上抛出，小球在空中运动一段时间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t，已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g的大小；
（2）该星球的质量M；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行的最小周期T为多大？

Answer 1

分析：（1）小球做竖直上抛运动，由运动学公式可求得该星球表面的重力加速度g；
（2）对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律求解该星球的质量．
（3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R时，该卫星运行的周期T最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律求解．

解答：解：（1）由运动学公式得：t=

2v

g

解得该星球表面的“重力”加速度的大小    g=

2v

t

（2）质量为m的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg=G

mM

R2

解得该星球的质量为            M=

2vR2

Gt

（3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R时，该卫星运行的周期T最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律G

m′M

R2

=

4π2m′R

T2

解得该卫星运行的最小周期        T=2π

Rt 2v

答：（1）该星球表面的“重力”加速度g的大小是

2v

t

；
（2）该星球的质量M是

2vR2

Gt

；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行的最小周期T为是2π

Rt 2v

．

点评：重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．