Question

某行星的质量为M，半径为R，自转周期为T，已知万有引力常量为G，试求：
（1）该行星两极的重力加速度；
（2）该行星“赤道”上的重力加速度；
（3）要从该行星表面发射一颗质量为m₀的“近地卫星”，至少应该补充多少机械能？

Answer 1

（1）对于放置于行星两极的质量为m的物体，有万有引力等于重力得出：
G

mM

R2

=mg 
得：g=

GM

R2

（2）对于放置于行星赤道上的质量为m的物体，它随行星做匀速圆周运动．设它受到的“地面”支持力为N，则有
G

mM

R2

-N=ma 
其中a=

4π2

T2

R 
N和重力是一对平衡力，所以N=mg′
解以上三式得g′=

GM

R2

-

4π2

T2

R 
（3）卫星在赤道上时，初速度最大，需要补充的机械能最少．
初速度v₁=

2π

T

R 
近地环绕时，有G

m0M

R2

=m₀

v 22

R

需要补充的机械能△E=

1

2

m0

v

22

-

1

2

m0

v

21

=

2π2m0R2

T2

-

GMm0

2R

答：（1）行星两极的重力加速度是

GM

R2

；
（2）该行星“赤道”上的重力加速度是

GM

R2

-

4π2

T2

R；
（3）至少应该补充的机械能为

2π2m0R2

T2

-

GMm0

2R

．