Question

20．如图所示，半径为r的金属环绕通过其直径的轴OO′，以角速度ω做匀速转动，匀强磁场的磁感应强度为B．从金属环的平面与磁场方向重合时开始计时，如果组成金属环材料单位长度的电阻值为R₀，
（1）求环中产生的感应电动势
（2）在转过30°角的过程中，感应电动势的平均值是多大？流过金属环的电量是多少？
（3）在转过180°角的过程中，环产生的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）根据感应电动势最大值E_m=NBSω，从而求解感应电动势的有效值；
（2）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势的平均值，再由电量表达式，即可求解．
（3）根据焦耳定律，求解环产生的热量

解答 解：（1）感应电动势最大值E_m=NBSω=Bωπr²，因此感应电动势的表达式为E=Bωπr²cosωt
（2）图示位置时穿过线圈的磁通量为：Φ₁=0；
转过30°时穿过线圈的磁通量为：Φ₂=BSsin30°=$\frac{1}{2}$BS=$\frac{1}{2}$Bπr²，
转过30°用的时间为：△t=$\frac{△θ}{△ω}$=$\frac{π}{6ω}$，
由法拉第电磁感应定律得感应电动势的平均值为：E=$\frac{△∅}{△t}$=3Bωr²；
金属环电阻R=2πrR₀，
感应电流：I=$\frac{E}{R}$，
电荷量：q=I△t，
解得：q=$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）金属环匀速转动，产生正弦式交变电流，
E_m=BSω=Bπr²ω，
有效值：E_有效=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Bωπr²，
转过180°需要的时间：t=$\frac{θ}{ω}$=$\frac{π}{2ω}$，
在转过180°角的过程中，环产生的热量：Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t，
解得：Q=$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$；
答：（1）环中产生的感应电动势Bωπr²cosωt
（2）在转过30°角的过程中，感应电动势的平均值是3Bωr²；流过金属环的电量是$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）在转过180°角的过程中，环产生的热量是$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$

点评 本题综合考查了交流电瞬时值表达式、电动势的平均值和电流做功情况，应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、正弦式交变电流最大值与有效值间的关系、电功公式即可正确解题