Question

2．某一行星有一质量为m的卫星，以轨道半径r、周期T做匀速圆周运动，测得行星的半径恰好是该卫星轨道半径的$\frac{1}{10}$，万有引力常量为G，求
（1）卫星的加速度大小；
（2）行星的质量；
（3）行星表面的重力加速度大小．

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力，可以列式求解；
（2）同样由万有引力提供向心力，可以列式求解；
（3）根据行星表面，重力等于万有引力，可以列式求解

解答 解：设行星的质量为M，由行星对卫星的万有引力提供向心力 得  $G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=ma   ①
   （1）由①式得到卫星的加速度a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
   （2）由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$  得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$

   （3）设行星表面的重力加速度为g，行星半径为R，则行星表面物体的重力等于行星对物体的万有引力，即$\frac{GMm′}{{R}^{2}}=m′g$
    由题意   R=0.1r
   由以上得g=$\frac{400{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
答：（1）卫星的加速度为$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
    （2）行星的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
   （3）行星表面的重力加速度大小为$\frac{400{π}^{2}r}{{T}^{2}}$

点评 本题关键在于卫星所受的万有引力提供向心力据此列式求出相应的物理量，注意在行星表面重力等于万有引力．