Question

20．火星有两颗天然卫星，它们绕火星的运动可视为圆周运动，其中火卫一离火星中心的距离r₁=9×10⁵m，公转周期T₁=8h，火卫二离火星中心的距离r₂=2.4×10⁷m，求：（结果保留2位有效数字）
（1）火卫二的周期T₂；
（2）火卫二的速度大小v₂．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径的关系，结合轨道半径之比求出周期之比，从而得出火卫二的周期．
根据火卫二的周期和轨道半径求出火卫二的速度．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因为$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{2.4×1{0}^{7}}{9×1{0}^{5}}=\frac{80}{3}$，则$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$=137.7，
解得火卫二的周期${T}_{2}=8×137.7h≈1.1×1{0}^{3}h$，
（2）火卫二的速度${v}_{2}=\frac{2π{r}_{2}}{{T}_{2}}=\frac{2×3.14×2.4×1{0}^{7}}{1.1×1{0}^{3}×3600}$m/s≈38m/s．
答：（1）火卫二的周期为1.1×10³h；
（2）火卫二的速度为38m/s．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、周期与轨道半径的关系，并能灵活运用．