Question

9．如图甲所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场左侧有一对平行金属板M、N，两板间距离也为R，板长为L，板的中心线O₁O₂与磁场的圆心O在同一直线上．置于O₁处的粒子发射源可连续以速度v₀沿两板的中线O₁O₂发射电荷量为q、质量为m的带正电的粒子（不计粒子重力），MN两板不加电压时，粒子经磁场偏转后恰好从圆心O的正下方P点离开磁场；若在M、N板间加如图乙所示交变电压U_MN，交变电压的周期为$\frac{L}{v_0}$，t=0时刻入射的粒子恰好贴着N板右侧射出．求

（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小
（2）交变电压电压U₀的值
（3）若粒子在磁场中运动的最长、最短时间分别为t₁、t₂，则它们的差值△t为多大？

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，结合半径公式求出匀强磁场的磁感应强度大小．
（2）根据偏转位移的大小，结合牛顿第二定律和运动学公式求出交变电压U₀的值．
（3）所有粒子经电场后其速度仍为v₀，作出粒子在磁场中运动圆心角最大和最小时的轨迹图，结合周期公式进行求解．

解答 解：（1）当U_MN=0时粒子沿O₂O₃方向射入磁场轨迹如图⊙O₁，设其半径为R₁．
由几何关系得：R₁=R     
根据$Bqv=\frac{{m{v_0}^2}}{R_1}$
解得：$B=\frac{{m{v_0}}}{qR}$．
（2）在t=0时刻入射粒子满足：$\frac{R}{2}=\frac{1}{2}×\frac{{{U_0}q}}{Rm}×{（\frac{L}{{2{v_0}}}）^2}×2$，
解得：${u_0}=\frac{{2m{R^2}{v_0}^2}}{{q{L^2}}}$．
（3）经分析可知所有粒子经电场后其速度仍为v₀，
当$t=（2k+1）\frac{L}{v_0}$（k=0，1，2，3．…）时刻入射的粒子贴M板平行射入磁场轨迹如⊙0₄，偏转角为α．
由几何知识可知四边形QOPO₄为菱形，故α=120°
${t_1}=\frac{T}{3}$，
当$t=2k\frac{L}{v_0}$（k=0，1，2，3．…）时刻入射的粒子贴N板平行射入磁场轨迹如⊙0₅ 偏转角为β．
由几何知识可知SOPO₅为菱形，故β=60°
${t_2}=\frac{T}{6}$，
又 $T=\frac{2πR}{v_0}$
故   $△t={t_1}-{t_2}=\frac{πR}{{3{v_0}}}$．
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）交变电压电压U₀的值为$\frac{2m{R}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{q{L}^{2}}$；
（3）若粒子在磁场中运动的最长、最短时间分别为t₁、t₂，则它们的差值△t为$\frac{πR}{3{v}_{0}}$．

点评 考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，掌握处理两种运动的方法，理解牛顿第二定律与运动学公式的综合应用，注意运动的周期性．