Question

17．一个光滑的圆柱体固定在桌面上，圆柱体的半径为r，质量分别为m_A和m_B的两个小球A和B（都可看作质点，且m_A＞m_B），用一根细线相连接，细线的长度恰好等于圆柱体的半个周长，开始时使两小球位于同一水平面上，如图所示，无初速地释放，A球向下运动，B球沿圆柱面运动．求
（1）当A球到达桌面的时刻，B球的速度多大？
（2）设A球落到桌面后即停止运动，求两球质量满足怎样的关系，小球B能通过圆柱体的最高点？

Answer 1

分析 （1）由几何关系可求得B转过的角度，由动能定理可求得B的速度；
（2）根据通过最高点的条件，利用机械能守恒定律可求得两球质量应满足的关系．

解答 解：
（1）当A下落到达桌面时，B沿圆弧上升转过θ角，它上升的高度为h=rsinθ（1）
由弧长公式可得：θr=r（2）
即θ=1
设A球到达桌面时B求的速度为v则：$\frac{1}{2}（{{m_A}+{m_B}}）{v^2}=-（{{m_B}gh-{m_A}gr}）$
可得：$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}•sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$（3）
（2）设B经过最高点时的速度为v'，则能通过圆柱体的最高点的条件是：$0＜v'＜\sqrt{gr}$（4）
由机械能守恒得：${m_B}gr（{1-sin1}）=\frac{1}{2}{m_B}{v^2}-\frac{1}{2}{m_B}{v'^2}$（5）
且$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$（6）
由（4）（5）（6）可得：$\frac{1}{sin1}＜\frac{m_A}{m_B}＜\frac{3}{2sin1-1}$（7）
答：当A球到达桌面的时刻，B球的速度为$v=\sqrt{\frac{{2gr（{{m_A}-{m_B}•sin1}）}}{{{m_A}+{m_B}}}}$
（2）设球落到桌面后即停止运动，两球质量满足怎样的关系$\frac{1}{sin1}＜\frac{m_A}{m_B}＜\frac{3}{2sin1-1}$，小球B能通过圆柱体的最高点．

点评 本题考查机械能守恒定律的应用，解题时要注意明确数学知识的正确应用，这对学生要求较高，应多加练习．