Question

如图所示，水平地面上方被竖直线MN分隔成两部分，M点左侧地面粗糙，与B球间的动摩擦因数为μ=0.5，右侧光滑．MN右侧空间有一范围足够大的匀强电场，在O点用长为R=5m的轻质绝缘细绳，拴一个质量m_A=0.04kg，带电量为q=+2×10^-4C的小球A，在竖直平面内以v=10m/s的速度做顺时针匀速圆周运动，小球A运动到最低点时与地面刚好不接触．处于原长的弹簧左端连在墙上，右端与不带电的小球B接触但不粘连，B球的质量m_B=0.02kg，此时B球刚好位于M点．现用水平向左的推力将B球缓慢推至P点（弹簧仍在弹性限度内），MP之间的距离为L=10cm，推力所做的功是W=0.27J，当撤去推力后，B球沿地面向右滑动恰好能和A球在最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C均可视为质点），速度大小变为5m/s，方向向左；碰撞前后电荷量保持不变，碰后瞬间立即把匀强电场的场强大小变为E=6×10³N/C，电场方向不变，求：
（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小和方向；
（2）弹簧具有的最大弹性势能；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小．（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）小球在竖直平面内做匀速圆周运动，合力始终指向圆心且大小不变，所以电场力要与重力平衡抵消，绳子的拉力提供向心；
（2）先根据功能关系求出小球B运动到M点时速度，由动量守恒定律求得共同速度；
（3）把匀强电场的场强大小变为E=6×10³N/C，电场方向不变时，分析小球的运动情况．由动能定理求得小球达到最高点的速度，再根据向心力公式即可求解；

解答：解：（1）要使小球在竖直平面内做匀速圆周运动，必须满足：F_电=Eq=m_Ag
所以 E=

mAg

q

=

0.04×10

2×10-4

N/C=2×10³N/C，方向竖直向上．
（2）由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能 E_P=W-μm_BgL=0.27-0.5×0.02×10×0.1=0.26（J）．
（3）设小球B运动到M点时速度为v_B，由功能关系得：
  E_P-μm_BgL=

1

2

mB

v

2 B

解得：v_B═5m/s
两球碰后结合为C，设C的速度为v₁，取向左为正方向，对于两球组成的系统，由动量守恒定律得：
 m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
解得：v₁=5m/s
电场变化后，因 E′q-m_Cg=0.6N，mC

v 2 C

R

=0.3N
则mC

v 2 C

R

＜E′q-m_Cg
所以C不能做圆周运动，而是做类平抛运动，
设经过时间t绳子在Q处绷紧，由运动学规律得
  x=v₁t
  y=

1

2

at2
根据牛顿第二定律得；a=

E′q-mCg

mC

根据数学知识有：x²+（R-y）²=R²  
可得：t=1s
则得：v_y=at=10m/s，x=y=R=5m
即：绳子绷紧时恰好位于水平位置，绳子绷紧后水平方向速度变为0，以竖直速度v₂=v_y开始做圆周运动．
设到最高点时速度为v₃
由动能定理得：

1

2

mC

v

2 3

-

1

2

mC

v

2 2

=E′qR-m_CgR
解得：v₃=10

2

m/s
在最高点由牛顿运动定律得：T+m_Cg-E′q=m_C

v 2 3

R

解得：T=3N 
答：（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小为2×10³N/C，方向竖直向上；（2）弹簧具有的最大弹性势能为0.26J；（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小为3N．

点评：本题主要考查了动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律及功能关系的应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况及运动过程，难点较大．