Question

倾角为θ=37°的固定光滑斜面，高为h=3m，左侧有质量为m=1kg的小球置光滑的水平面上，在斜面右侧放置有块竖直挡板高为H=4m，现给对小球一个水平向右的大小为υ0=4

10

m/s的初速度，（不计小球与斜面底端的接触处碰撞能量损失和空气阻力）．则挡板距离斜面右侧的距离在哪些范围内可使小球击中挡板？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²，

10

≈3.2，

6

≈2.5）

Answer 1

分析：小球由斜面最低点运动到最高点的过程，运用动能定理求出小球到达斜面最高点时的速度，将此速度分解为水平和竖直两个方向．小球离开斜面后做斜抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做竖直上抛运动，由运动学公式得到水平和竖直两个方向的位移与时间的表达式，要使小球能击中挡板，竖直位移y≤H-h=1m，得到抛体运动的轨迹方程，由数学知识可求出挡板距离斜面右侧的距离范围．

解答：解：小球由斜面最低点运动到最高点时，由动能定理可得：-mgh=

1

2

mυ2-

1

2

m

υ

2 0

解得：υ=

υ 2 0 -2gh

=10m/s
在斜面最高点时运动分解如图所示：υy=υsin370=6m/s；υx=υcos370=8m/s
则可得小球在竖直方向的运动方程为：y=υyt-

1

2

gt2=6t-5t2…①
小球沿水平方向的运动方程为：x=υ_xt=8t…②
则小球能击中挡板时，由上可知y≤H-h=1m…③
由①③联立解得：当t₁=0.2s，t₂=1s
结合抛体运动的轨迹方程和图中可知，挡板在OA和BC之间时，能被小球击中．
则由②可得
   x_OA=υ_xt₁=1.6m…④
   x_OB=υ_xt₂=8m…⑤
取抛出点为坐标原点为，则C点对应的纵坐标为y=-3m，
结合①解得t₃=1.6s
则由②可得x_OC=υ_xt₃=12.8m…⑥
结合④⑤⑥可知，挡板在距离斜面左端距离为0～1.6m或8～12.8m之间时，可使小球击中挡板．
答：挡板在距离斜面左端距离为0～1.6m或8～12.8m之间时，可使小球击中挡板．

点评：本题中涉及斜抛运动，其研究方法是运动的合成和分解，本题的解题关键是运用数学知识解决轨迹问题．