Question

在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方．现有一质量为m、电量为q的正离子，以速度v由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大． 求：
（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．

Answer 1

【答案】分析：（1）带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径．画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出C点的坐标；
（2）粒子从A运动C，转过225°角．第一次进入电场后，粒子先做匀减速直线运动，速度减到零后做匀加速直线运动返回，第二次穿越x轴，进入磁场后，转过90°第二次穿越x轴进入电场．根据时间与周期的关系求出在磁场运动的时间．由牛顿定律和运动学公式求解在电场中运动的时间，再求出总时间．
（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类平抛的运动，采用运动的分解，由牛顿定律和运动学公式求解第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．
解答：解：（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，故有得 

 粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，
  
故C点坐标为（，0）
（2）
设粒子从A到C的时间为t₁，由几何知识知：
设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，由牛顿第二定律和运动学公式，有
   qE=ma  及2v=at₂
联立（6）（7）解得  
设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意知
所以粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为
（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类平抛的运动，即沿着v的方向（设为x′轴）以v做匀速运动，沿着qE的方向（设为y′轴）做初速度为0的匀加速运动
  即x'=vt
      
   
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α．
由图中几何关系知   =cos45°，v=，
综合上述得，
答：（1）C点的坐标是（，0）；
    （2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间是+；
    （3）离子第四次穿越x轴时速度的大小为，速度方向与电场方向的夹角．
点评：本题是粒子在电场和磁场中运动的问题，电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解，磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹．