题目内容

2．如图所示，第二象限，半径为r的圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界恰好与两坐标轴相切．x轴上切点A处有一粒子源，能够向x轴上方发射速率相等，均为v，质量为m，电量为+q的粒子，粒子重力不计．圆形区域磁场的磁感应强度B1=$\frac{mv}{qr}$，y轴右侧0＜y＜r的范围内存在沿y轴负方向的匀强电场，已知某粒子从A处沿+y方向射入磁场后，再进入匀强电场，发现粒子从电场右边界MN射出，速度方向与x轴正方向成45°角斜向下，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）若在MN右侧某区域存在另一圆形匀强磁场B2，发现A处粒子源发射的所有粒子经磁场B1、电场E射出后均能进入B2区域，之后全部能够经过x轴上的P点，求圆形匀强磁场B2的最小半径；
（3）继第二问，若圆形匀强磁场B2取最小半径，试求A处沿+y方向射入B1磁场的粒子，自A点运动到x轴上的P点所用的时间．

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，把类平抛运动分解为x方向和y方向的分运动，对分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律即可求解E．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得到轨迹半径．由几何关系定出粒子束的宽度，从而求出圆形匀强磁场B2的最小半径．
（3）根据弧长与线速度大小之比求粒子在磁场中运动时间．由分运动的位移公式求电场中运动时间．得到粒子在无场区运动的时间，由匀速运动的规律求出时间，从而得到总时间．

解答 解：
（1）设：粒子做类平抛运动的水平位移大小为x，竖直方向的速度大小为vy，类平抛的加速度大小为a，类平抛的时间为t
        根据牛顿第二定律Eq=ma，得a=$\frac{qE}{m}$ 
        粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛的规律有：
        x方向：x=vt=r
        y方向：vy=at=$\frac{qE}{m}$t=$\frac{Eqr}{mv}$
        粒子从电场右边界MN射出，速度方向与x轴正方向成45°斜向下，则 vy=v；
       联立得匀强电场的电场强度大小E=$\frac{{mv}^{2}}{qr}$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
        qVB1=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
        联立题中已知B1=$\frac{mv}{qr}$
        得 R=r
        因为磁场半径与轨迹半径相同，所以粒子离开磁场后的速度方向均沿+x方向
        又所有粒子穿出匀强电场后速度纵向偏移量 y=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}$r均相等
         设粒子从MN射出的最高点为E，最低点为F，则EF=2r
        所以粒子束的宽度 d=$\sqrt{2}$r
         圆形匀强磁场B2的最小半径 rB2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
（3）粒子在磁场B1中运动时间 t1=$\frac{l}{v}$=$\frac{πr}{2v}$
        粒子在匀强电场中运动时间 t2=$\frac{r}{v}$        粒子在无场运动速度 v′=$\sqrt{2}$v
        粒子在无场运动的距离 x3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
        粒子在无场运动的时间 t3=$\frac{{x}_{3}}{v′}$=$\frac{r}{2v}$
        粒子在磁场B2中运动时间 t4=$\frac{πr}{4v}$
        故粒子自A点运动到x轴上的P点的总时间 t=t1+t2+t3+t4=$\frac{3r}{2v}$+$\frac{3πr}{4v}$
答：（1）匀强电场的电场强度大小为$\frac{{mv}^{2}}{qr}$
      （2）圆形匀强磁场B2的最小半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$r
      （3）粒子自A点运动到x轴上的P点的总时间为$\frac{3r}{2v}$+$\frac{3πr}{4v}$

点评 本题考查带电粒子在偏转电场中的类平抛运动，以及带电粒子在有界磁场的运动时，有界磁场的最小面积的问题．过程稍多，要仔细分析计算．

练习册系列答案
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提供可选择的实验器材如下：
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D．定值电阻R2（10Ω）
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F．滑动变阻器R4（0～20Ω）
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（1）在实验时同学们采用了如图甲所示的实物电路，在具体实验操作中漏接了一根导线，请在答题卡上图甲所示的实物电路图中添上遗漏的导线．
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