Question

如图所示，轻质细绳的一端系一质量m=0.01kg的小球，另一端系一光滑小环套在水平轴O上，O到小球的距离d=0.1m，小球跟水平面接触无相互作用力，在球的两侧距球等远处，分别竖立一固定挡板，两挡板相距L=2m．水平面上有一质量为M=0.01kg的小滑块，与水平面间的动摩擦因数μ=0.25，开始时，滑块从左挡板处，以v₀=10m/s的初速度向小球方向运动，不计空气阻力，设所有碰撞均无能量损失，小球可视为质点，g=10m/s²．则：
（1）在滑块第一次与小球碰撞后的瞬间，悬线对小球的拉力多大？
（2）试判断小球能否完成完整的圆周运动．如能完成，则在滑块最终停止前，小球能完成完整的圆周运动多少次？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出木块与小球碰撞前的速度，碰撞的过程中无能量损失，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出碰后小球的速度，结合牛顿第二定律求出绳子拉力的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球做圆周运动在最高点的最小速度，通过动能定理求出最后一次碰撞后的速度，抓住碰撞过程中速度交换，对木块全过程运用动能定理，从而得出小球能完成完整圆周运动的次数．

解答：解：（1）根据动能定理得：-μMg?

L

2

=

1

2

Mv12-

1

2

Mv02
代入数据解得：v1=

95

m/s．
根据动量守恒定律得：Mv₁=Mv₁′+mv₂
根据能量守恒定律得：

1

2

Mv12=

1

2

Mv1′2+

1

2

mv22．
联立解得：v2=v1=

95

m/s．
根据牛顿第二定律得：T-mg=m

v22

d

解得：T=mg+m

v22

d

=0.1+0.01×

95

0.1

N=9.6N．
（2）能．设第K次碰撞恰能完成完整的圆周运动，
在最高点的临界速度为：v=

gd

根据动能定理得：-mg?2d=

1

2

mv2-

1

2

mvk2
解得：v_K=

5gd

…①
木块与小球质量相等，碰撞过程中动量守恒、能量守恒，交换速度，
整个过程中由动能定理得：-（2K-1）μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 K

-

1

2

m

v

2 0

…②
由①②得k=10，可知小球能完成完整的圆周运动10次．      
答：（1）悬线对小球的拉力为9.6N．
（2）能，小球能完成完整的圆周运动10次．

点评：本题综合考查动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律和动能定理，综合性较强，对学生的能力要求较高，是道难题．