Question

如图甲，两光滑的平行导轨MON与PO’Q，其中ON、O’Q部分是水平的，倾斜部分与水平部分用光滑圆弧连接，QN两点间连电阻R，导轨间距为L．水平导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是cdef和ghjk虚线包围区），磁场方向垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感强度B₀的恒定磁场，Ⅰ区磁场的宽度为x₀，磁感应强度随时间变化．一质量为m，电阻为R的导体棒垂直于导轨放置在磁场区中央位置，t=0时刻Ⅰ区磁场的磁感强度从B₁大小开始均匀减小至零，变化如图乙所示，导体棒在磁场力的作用下运动的v-t图象如图丙所示．
（1）求出t=0时刻导体棒运动的加速度a；
（2）求导体棒穿过Ⅰ区磁场的过程中安培力所做的功和ab棒离开Ⅰ区磁场后直到最终停止的过程中电阻R上产生的热量．
（3）根据导体棒运动图象，求棒的最终位置和在0-t₂时间内通过棒的电量．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律求解出感应电动势；根据欧姆定律求解出电流；计算出安培力后根据牛顿第二定律求解出加速度；
（2）根据动能定理列式求解安培力的功，根据动生电动势和感生电动势合成得到电动势，求出电流和电功率；
（3）结合图象并运用微元法，得到Ⅱ区宽度，然后根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、切割公式等列式分析计算．

解答：解：（1）t=0时刻，由法拉第电磁感应定律得：E=

△φ

△t

=

B1

t0

Lx0

2

，又由欧姆定律得：I=

E

2R

      
ab棒受到向左的安培力 F=B₁IL=

B 2 1 L2x0

4Rt0

        
ab棒向左的加速度  a=

F

m

=

B 2 1 L2x0

4mRt0

                    
（2）

t0

2

时刻导体棒穿出磁场速度为v₀，由动能定理，安培力的功为 W=

1

2

m

v

2 0

热量Q_ab=

B 2 1 L2 x 2 0

8Rt0

+

1

4

m

v

2 0

（3）设磁场Ⅱ区宽度为x₁，棒在Ⅱ区任一时刻速度为v，有 E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力，F=B₀IL=

B 2 0 L2v

2R

，加速度大小 a=

B 2 0 L2v

2mR

则△v=-a△t=

- B 2 0 L2△x

2mR

穿过磁场Ⅱ区全程，∑△x=

v0

2

-v₀=

- B 2 0 L2

2mR

∑△x=

- B 2 0 L2

2mR

x1
 x₁=

mRv0

B 2 0 L2

棒从斜面返回磁场Ⅱ初速度

v0

2

，同理可知，经过x₁位移速度为零，所以停在Ⅱ区右端，
又 E=

△φ

△t

，I=

E

2R

，△Q=I△t
0-t₂时间内有△φ₁=-

B1Lx0

2

，△φ₂=B₀Lx₁=

mRv0

B0L

通过棒的电量△Q=

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

答：（1）t=0时刻导体棒运动的加速度a为

B 2 1 L2x0

4mRt0

；
（2）导体棒穿过Ⅰ区磁场的过程中安培力所做的功为

1

2

m

v

2 0

，ab棒离开Ⅰ区磁场后直到最终停止的过程中电阻R上产生的热量为

B 2 1 L2 x 2 0

8Rt0

+

1

4

m

v

2 0

．
（3）棒的最终位置和在0-t₂时间内通过棒的电量为

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

．

点评：本题关键结合图象得到导体棒的运动规律；对于第二问，要注意同时存在感生和动生电动势；第三问要结合微元法求解．