Question

（2010?杭州二模）如图甲所示，在虚线框两侧区域存在有大小为B、方向分别为水平向左和水平向右的匀强磁场．用薄金属条制成的闭合正方形框aa′b′b边长为L，质量为m，电阻为R．金属方框水平放置于距磁场上边界H处，由静止开始下落，其平面在下落过程中始终保持水平，当其落人磁场后，aa′整边、bb′整边分别位于左、右两边的磁场中，方向均与磁场方向垂直，乙图是从上向下看的俯视图．（不计空气阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（设磁场区域在竖直方向足够长）；
（2）当方框下落的速度为v时，求此时方框内感应电流的功率P；
（3）从进入磁场开始计时经过时间t，方框在磁场中下落了高度h，速度达到v_t．若在这段时间内感应电流做的功与一恒定电流，I₀在t时间内在该框内做的功相同，求恒定电流l₀的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据自由落体运动公式，结合安培力等于重力，从而求出在磁场中速度，再由v₀与v′比较大小，从而确定求解；
（2）根据电功率表达式，当方框下落的速度为 v 时，即可求解；
（3）根据能量转化守恒关系，与焦耳定律，即可求解．

解答：解：（1）根据自由落体公式：v²=2gH，
可得方框刚进入磁场时的速度：v₀=

2gH

，
令方框在磁场中达到稳定时速度为v′，则有：
mg=BI×2L=

2BLv′

R

B×2L  
可得：v′=

mgR

4B2L2

，
若v₀≥v′，则方框进入磁场后做加速度变小减速运动，其最大速度为：v₀=

2gH

；
若v₀＜v′，则方框进入磁场后做加速度变小加速运动，其最大速度为：v′=

mgR

4B2L2

；
（2）当方框下落的速度为 v 时，方框内感应电流的功率：P=I²R=4

B2L2v2

R

；
（3）根据能量转化的关系可得：mg（H+h）=

1

2

mv_t²+I₀²Rt
因此等效电流：I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．
答：（1）当v₀≥v′，则方框下落的最大速度v_m=

2gH

；当v₀＜v′，则方框下落的最大速度v_m═

mgR

4B2L2

；
（2）当方框下落的速度为v时，此时方框内感应电流的功率P=4

B2L2v2

R

；
（3）恒定电流l₀的表达式I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．

点评：考查运动学公式的应用，掌握安培力表达式及受力平衡条件，理解电功率表达式与能量转化与守恒定律的应用，注意安培力的方向，同时根据进入磁场的速度大小不同而分情况讨论．