Question

(20分)如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．

Answer 1

解析：

图中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有

                                  （1）

在中

                                  （2）

                          （3）

由式（1）和式（2）得

    

再由式（3）得

    

设点到的距离为，有

     

得

                   （4）

解式（4）可得

                    （5）

为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式

由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为

                    （6）

上式给出随变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为

                      （7）

在轴上处，无光线通过。

随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角相应的光线有

这光线的折射线与轴线的交点处于

                             （8）

在轴上处没有折射光线通过。

由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右

                                       （9）

的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。与就是所要求的分界点，如图所示

评分标准：本题20分。

求得式（7）并指出在轴上处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在轴上处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出上有光线段的位置，给4分。