题目内容

如图所示，在同一竖直平面内两正对着的半径为R的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一质量为m的小球能在其间运动．今在最低点B与最高点A各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来．（不计空气阻力，g取10m/s2）
（1）要使小球不脱离轨道，求小球在A点速度；
（2）求A、B两点的压力差△FN与x的函数关系；（用m、R、g表示）
（3）若测得两点压力差△FN与距离x的图象如右图所示．根据图象，求小球的质量．
分析：（1）要使小球不脱离轨道，小球到达轨道最高点A时的速度必须大于等于临界速度，在最高点时，当重力恰好等于向心力时，小球的速度等于临界速度，是小球到达最高点的最小速度，由牛顿第二定律列式求解．
（2）在A、B两点，由轨道的弹力与重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到轨道的弹力与速度关系，再根据机械能守恒列式，得到两点速度之间的关系，即可得到压力差△FN与x的函数关系；
（3）由压力差与距离x的关系式，结合图象的截距求得物体的质量．
解答：解：（1）小球恰能在A点沿轨道运动时：mg=m
v
2
A
R

解得，vA=
gR
               ①
要使小球不脱离轨道，小球在A点速度必须满足vA≥
gR
．
（2）在B点：FNB-mg=m
v
2
B
R
                 ②
在A点：FNA+mg=m
v
2
A
R
                   ③
小球从A到B机械能守恒：
1
2
m
v
2
B
=mg（2R+x）+
1
2
m
v
2
A
           ④
两点的压力差：△FN=FNB-FNA=6mg+
2mgx
R
    ⑤
（3）由图象知：截距：6mg=2.4
解得，m=0.04kg         ⑥
答：
（1）要使小球不脱离轨道，小球在A点速度应大于等于
gR
；
（2）A、B两点的压力差△FN与x的函数关系与6mg+
2mgx
R
；
（3）根据图象得到小球的质量是0.04kg．
点评：本题考查机械能守恒的应用及竖直面内的圆周运动的临界值的应用，此类题型为常见题型，应熟练掌握．
练习册系列答案
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（1）球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；
（2）弹簧的最大弹性势能．
精英家教网如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R．轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x．一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v．小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为△F（△F＞0），不计空气阻力．则（　　）
A、m、x一定时，R越大，△F一定越大B、m、R一定时，x越大，△F一定越大C、m、x一定时，v越大，△F一定越大D、m、R一定时，v越大，△F一定越大

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