Question

如图所示的平面直角坐标系中，虚线OM与x轴成45°角，在OM与x轴之间（包括x轴）存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在y轴与OM之间存在竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场，有一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以某速度沿x轴正方向从O点射入磁场区域并发生偏转，不计带电粒子的重力和空气阻力，在带电粒子进入磁场到第二次离开电场的过程中，求：
（1）若带电粒子从O点以速度V₁进入磁场区域，求带电粒子第一次离开磁场的位置到O点的距离？
（2）当粒子最初进入磁场时速度V的大小变化时，讨论粒子第二次离开电场时速度大小与V大小的关系．

Answer 1

分析：（1）带电粒子进入磁场中，受到洛伦兹力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和向心力公式求出粒子的轨迹半径，画出轨迹，由几何知识求粒子第一次离开磁场的位置到O点的距离；
（2）带电粒子进入电场时做类平抛运动，第二次离开电场时恰好经过O点，画出轨迹，运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出粒子进入电场时的初速度大小，即是粒子最初进入磁场时速度V的大小．再讨论当V变化时，粒子第二次离开电场时速度大小与V大小的关系．

解答：解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
qv₁B=m

v12

R

…①
解得：R=

mv1

qB

…②
设粒子从N点离开磁场，如答图所示，由几何知识可知：
ON=

2

R… ③
联立②③得：ON=

2 mv1

qB

…④
（2）粒子第二次离开磁场后再电场中做类平抛运动，若粒子第二次刚好从O点离开电场，则：
水平位移x=2R=

2mv

qB

=vt… ⑤
解得：t=

2m

qB

…⑥
竖直位移y=2R=

2mv

qB

=

1

2

at²…⑦
而a=

qE

m

… ⑧
联立⑥⑦⑧得：v=

E

B

；
i）若v＞

E

B

，则粒子从y轴离开电场，轨迹如图，水平位移：
x=2R=

2mv

qB

=vt，得：t=

2m

qB

v_y=at=

qE

m

t=

2E

B

则粒子离开电场时的速度v′=

vy2+v2

=

4E2 B2 +v2

ii）若v＜

E

B

，则粒子从OM边界离开电场，粒子在x、y方向的位移大小相等，x=vt，
y=x=

vy

2

t，解得：v_y=2v
则粒子离开电场时的速度v′=

v2+vy2

=

5

v
答：（1）若带电粒子从O点以速度V₁进入磁场区域，带电粒子第一次离开磁场的位置到O点的距离

2 mv1

qB

；
（2）若v＞

E

B

，则粒子从y轴离开电场，粒子离开电场时的速度v′=

4E2 B2 +v2

；
若v＜

E

B

，则粒子从OM边界离开电场，粒子离开电场时的速度v′=

5

v．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出轨迹，根据几何知识分析求解．