Question

如图所示，内壁光滑的轨道ABCDEF是由两个半径均为R的半圆轨道和两长度均为L=R直轨道良好对接而成，固定在同一竖直平面内．一质量为m的小球（可视为质点）始终能沿轨道ABCDEF的内壁运动，已知B、E为轨道的最高和最低点，重力加速度为g，求：
（1）若小球恰能过B点，此时小球的速度大小；
（2）小球经过E、B两点时对轨道的压力差．

Answer 1

分析：（1）小球恰能过最高点，则重力提供向心力，根据向心力公式即可求解；
（2）小球经过BE两点时，合外力提供向心力，根据向心力公式列式，从B到E的过程中，根据动能定理列式，联立方程即可求解．

解答：解：（1）小球恰能过最高点，则重力提供向心力，有：
mg=m

v2

R

解得；v=

gR

（2）小球经过B点时，合外力提供向心力得：N_B+mg=m

v2

R

 ①
小球经过E点时，合外力提供向心力得：N_E-mg=m

v′2

R

②
从B到E的过程中，根据动能定理得；

1

2

mv′2-

1

2

mv2=mg(2R+L)③
其中L=R④
联立①②③④得：△N=N_E-N_B=8mg
答：（1）若小球恰能过B点，此时小球的速度大小为

gR

；（2）小球经过E、B两点时对轨道的压力差为8mg．

点评：该题是动能定理及圆周运动向心力公式的直接应用，要抓住恰好到达最高点的隐含条件是由重力来提供向心力，难度不大，属于基础题．