Question

（2008?广东模拟）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球B连接着一个轻质弹簧，弹簧与小球均处于静止状态．质量为2m的小球A以大小为v₀的水平速度向右运动，接触弹簧后逐渐压缩弹簧并使B运动，经过一段时间，A与弹簧分离．
（1）当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能E_P为多大？
（2）若开始时，在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰撞后立即将挡板撤走．设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变，但方向与原来相反．欲使此后弹簧被压缩到最短时弹簧的弹性势能能达到第（1）问中E_P的2.5倍，必须使两球在速度达到多大时与挡板发生碰撞？

Answer 1

分析：（1）当弹簧压缩至最短时，两球的速度相等，根据系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可求出弹簧的弹性势能E_P．
（2）设B球与挡板碰撞时，A球速度为v₁、B球速度为v₂（均向右），根据动量守恒列式，B球与挡板刚碰后，A球速度为v₁、B球速度为-v₂（向左），此后弹簧压缩至最短时有共同速度，再由系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）弹簧压缩至最短时，A、B速度均为v，选取向右为正，根据动量守恒定律，有：2mv₀=（2m+m）v=

2

3

v0
根据机械能守恒定律，有：

1

2

×2m

v

2 0

=Ep+

1

2

(2m+m)v2
  Ep=

1

3

m

v

2 0

（2）设B球与挡板碰撞时，A球速度为v₁、B球速度为v₂（均向右）
根据动量守恒定律：2mv₀=2mv₁+mv₂ ①
此时弹簧弹性势    

E

′ p

=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

×2m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

  ②
则B球与挡板刚碰后：A球速度为v₁、B球速度为-v₂（向左），此后弹簧压缩至最短时共同速度为v₃，则：
    2mv₁-mv₂=（2m+m）v₃ ②
此时弹簧弹性势能 E″_p=E′_p+

1

2

×2m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

-

1

2

(2m+m)

v

2 3

得  E″_p=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

(2m+m)

v

2 3

由题意：E″_p=2.5E_p=

5

6

m

v

2 0

  
解得 v3=

1

3

v0  ③
由①②③式可得：v1=

3

4

v0v2=

1

2

v0
由①②③式可得：v1=

3

4

v0v2=

1

2

v0
答：
（1）当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能E_P为

1

3

m

v

2 0

．
（2）必须使两球在速度达到

1

3

v0时与挡板发生碰撞．

点评：本题是含有弹簧的问题，要分析物体的运动过程，抓住系统的动量守恒和机械能守恒进行分析，综合性较强．