Question

如图所示，质量均为m的A、B两球间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内（两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，它们整体视为质点），解除锁定时，A球能上升的最大高度为H．现让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R的半圆槽从左侧由静止开始下滑，滑至最低点时，瞬间解除锁定．求：
（1）两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力；
（2）A球离开圆槽后能上升的最大高度．

Answer 1

（1）A、B系统由水平位置滑到轨道最低点时速度为v₀，根据机械守恒定律
2mgR=

1

2

2m v₀²                                 ①
设轨道对小球的弹力为F，根据牛顿第二定律F-2mg=2m

v 20

R

②
得　　F=6mg                                        ③
（2）解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A、B的机械能，则弹性势能为
E_P=mgH                                   ④
解除锁定后A、B的速度分别为v_A、v_B，解除锁定过程中动量守恒2mv₀=mv_B+mv_A⑤
系统机械能守恒

1

2

2mv₀²+E_P=

1

2

m v_A²+

1

2

m v_B²                      ⑥
联立上述各式得vA=

2gR

±

gH

⑦
正号舍去　　vA=

2gR

-

gH

⑧
设球A上升的高度为h，球A上升过程机械能守恒
mg（h+R）=

1

2

m v_A²                                    ⑨
整理后得　h=

H

2

-

2RH

⑩
答：（1）两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力是6mg；
（2）A球离开圆槽后能上升的最大高度是h=

H

2

-

2RH

．