Question

16．（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接．质量为m₁的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m₂的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失．求碰撞后小球m₂的速度大小v₂．
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用．为了探究这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型．如图2所示，在固定光滑水平直轨道上，质量分别为m₁、m₂、m₃…m_n-1、m_n、…的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能E_k1，从而引起各球的依次碰撞．定义其中第n个球经过一次碰撞后获得的动能E_kn与E_k1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k_1n．
①求k_1n；　　　
②若m₁=4m₀，m₃=m₀，m₀为确定的已知量．求m₂为何值时，k₁₃最大．

Answer 1

分析 （1）由于两球在碰撞的过程中机械能守恒，同时动量也守恒，列出方程组即可求得碰撞后小球m₂的速度大小；
（2）根据动能传递系数的定义，求出第n个球的动能，与第1个球的动能相比较即可，再根据得到的结论分析即可求得m₂的值．

解答 解：（1）设碰撞前m₁的速度为v₁₀，根据机械能守恒定律有：${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}v_{10}^2$…①
设碰撞后m₁与m₂的速度分别为v₁和v₂，根据动量守恒定律有：m₁v₁₀=m₁v₁+m₂v₂…②
由于碰撞过程中无机械能损失，有：$\frac{1}{2}{m_1}v_{10}^2=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$…③
②、③式联立解得：${v_2}=\frac{{2{m_1}{v_{10}}}}{{{m_1}+{m_2}}}$…④
将①式代入④式得：${v_2}=\frac{{2{m_1}\sqrt{2gh}}}{{{m_1}+{m_2}}}$
（2）①：由④式，考虑到${E}_{K1}=\frac{1}{2}{m}_{\;}{v}_{10}^{2}和{E}_{K2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
得：${E_{k2}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{（{m_1}+{m_2}）}^2}}}{E_{k1}}$
根据动能传递系数的定义，对于1、2两球有：${k_{12}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{（{m_1}+{m_2}）}^2}}}$…⑤
同理可得，球m₂和球m₃碰撞后，动能传递系数k₁₃应为：
${k_{13}}=\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}•\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k2}}}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{（{m_1}+{m_2}）}^2}}}•\frac{{4{m_2}{m_3}}}{{{{（{m_2}+{m_3}）}^2}}}$…⑥
依此类推，动能传递系数k_1n应为：
${k_{1n}}=\frac{{{E_{kn}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}•\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k2}}}}…\frac{{{E_{kn}}}}{{{E_{k（n-1}}）}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{（{m_1}+{m_2}）}^2}}}•\frac{{4{m_2}{m_3}}}{{{{（{m_2}+{m_3}）}^2}}}…\frac{{4{m_{n-1}}{m_n}}}{{{{（{m_{n-1}}+{m_n}）}^2}}}$
解得    ${k_{1n}}=\frac{{{4^{n-1}}{m_1}m_2^2m_3^2…m_{n-1}^2{m_n}}}{{{{（{m_1}+{m_2}）}^2}{{（{m_2}+{m_3}）}^2}…{{（{m_{n-1}}+{m_n}）}^2}}}$
②：将m₁=4m₀，m₃=m₀代入⑥式可得：
${k_{13}}=64m_0^2{[{\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_o}）}}}]^2}$
为使k₁₃最大，只需使$\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_0}）}}=\frac{1}{{{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}+5{m_0}}}最大，即{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}取最小值$，
由${m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}={（{\sqrt{m_2}-\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}}）^2}+4{m_0}可知$，
$当\sqrt{m_2}=\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}，即{m_2}=2{m_0}时，{k_{13}}最大$．
答：（1）碰撞后小球m₂的速度大小为$\frac{2{m}_{1}\sqrt{2gh}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
（2）①k_1n为$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}{（{m}_{2}+{m}_{3}）}^{2}…{（{m}_{n-1}+{m}_{n}）}^{2}}$；　　
②若当m₂=2m₀ 时，k₁₃值最大．

点评 本题目中给的信息比较多，并且是平时不曾遇到的，但是根据题目的信息，逐步分析，根据动能的规律归纳，可求出每个小球的动能，再作比较就能够的出结论．解本题的关键是在对所给信息的理解．