Question

某研究性学习小组通过研究沙堆的形成，测出了沙粒之间的动摩擦因数：观察沙堆的形成，发现由漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体．继续下落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹角达到一定角度时，细沙不再下滑．如此周而复始，使圆锥体状的沙堆不断增大，如图．由此得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩擦因数有关．该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．则
①该小组必须测定的物理量是沙堆底面的周长S和

沙堆顶点到边缘的距离L（或高度H）

；
②动摩擦因数与这些物理量之间的关系是

4π2L2-S2

S2

（或）

2πH

S

．

Answer 1

分析：抓住细沙不再下滑这一临界状态，选择一粒沙进行研究分析，得出力学平衡等式．

解答：解：取侧面的一粒沙作为研究对象，其受力情况如图所示．
                                                              
设圆锥的高为H、底面半径为R、底面周长为S，据平衡条件，有                    
mgsinθ=F_f         ①
F_N=mgcosθ        ②
F_f=μF_N            ③
解得μ=tanθ
根据几何关系，有tanθ=

H

R

  ④
S=2πR  ⑤
由以上解得：μ=

2πH

S

．
也可以测量沙堆顶点到边缘的距离L，根据几何关系有H=

L2-R2

，
所以μ也等于

4π2L2-S2

S2

．

故答案是：①沙堆顶点到边缘的距离L（或高度H）；②

4π2L2-S2

S2

（或2π

H

S

）．

点评：善于把力学中的平衡知识应用到生活当中，这是高考的热点．