Question

如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的 竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的 扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的 质量为m_A，B球的 质量为m_B，杆长为L．则A球着地时的 速度为

2gL

，若m_A=m_B，A球机械能的 最小值为

23mAgL

27

．（选水平面为参考平面）

Answer 1

分析：（1）A球着地时，B球的速度为0，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式即可求解；
（2）两球组成的系统机械能守恒，当A球机械能最小时，B球的速度最大，设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为v_B，此时A球的速度为v_A，根据动能定理列式，而v_A和v_B沿杆方向上分速度大小相等，联立方程求出v_B的表达式，再利用数学知识求解最小值，即可求解．

解答：解：（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得：m_AgL=

1

2

m_Av²，①
解得：v=

2gL

（2）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为v_B，此时A球的速度为v_A，则有：
  m_AgL（1-cosθ）=

1

2

m_Av

2 A

+

1

2

m_Bv

2 B

  ②
且v_A和v_B沿杆方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ ③
联立解得：v_B=

2gL(1-cosθ)cos2θ

  ④
令y=（1-cosθ）cos²θ，当y的导数y′=0时，A球机械能最小，v_B达最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0 ⑤
解得cosθ=

2

3

，
由④解得，v_B的最大值为

2

3

2 3 gL

由②得A球机械能最小值为E_Amin=m_AgLcosθ+

1

2

m_Av

2 A

=m_AgL-

1

2

mB

v

2 B

联立解得E_Amin=

23mAgL

27

故答案为：

2gL

，

23mAgL

27

．

点评：本题关键分析清楚物体B的运动情况，然后结合机械能守恒定律和运动关系并结合数学知识分析，难度较大．