题目内容
两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则a、b两卫星周期之比多大？若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？分析：卫星做速圆周运动，根据开普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差π时，相距最远．
解答：解：（1）由题两卫星的轨道分别为 Ra=2R，Rb=4R
由开普勒行星运动规律
=k，k相同，则得
=
所以Ta：Tb=
：
=1：2
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转π角度，
则
?t-
?t=π
这段时间a经过的周期数为n=
解得，n=
若卫星反向运转，则
?t′+
?t′=π
这段时间a经过的周期数为n′=
解得，n′=
答：a、b两卫星周期之比为1：2
，若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过
或
个周期两卫星相距最远．
由开普勒行星运动规律
| R3 |
| T2 |
| ||
|
| ||
|
所以Ta：Tb=
| R |
a |
| R |
b |
| 2 |
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转π角度，
则
| 2π |
| Ta |
| 2π |
| Tb |
这段时间a经过的周期数为n=
| t |
| Ta |
解得，n=
4+
| ||
| 7 |
若卫星反向运转，则
| 2π |
| Ta |
| 2π |
| Tb |
这段时间a经过的周期数为n′=
| t′ |
| Ta |
解得，n′=
4-
| ||
| 7 |
答：a、b两卫星周期之比为1：2
| 2 |
4+
| ||
| 7 |
4-
| ||
| 7 |
点评：本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，要分同向运转与反向运转两种情形，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．
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