题目内容
（2008?深圳二模）如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为-q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间．
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间．
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．
分析：带电粒子在磁场中只受洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动．根据题意作出粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析答题．
解答：解：（1）设粒子运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：qv0B=m
，
T=
，解得T=
，
微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间：
t=
T=
；
（2）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4，．．）
设每等份圆弧所对圆心角为2θ，
由几何知识可得θ=
，tanθ=
，
由牛顿第二定律得：qv0B=m
，
解得：v0=
tan
（n=2、3、4、…），
当n为偶数时，由对称性可得t=
=
（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时．t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，
即t=
T+
T=
（n=3、5、7…），
（3）设x为O到粒子运动轨迹的圆心的距离，
由几何知识得：r=Rtan
，x=
，
要不超出边界须有：
+Rtan
＜2R，
解得：2cos
＞1+sin
，
当n=2时不成立，如图（b）所示
比较当n=3、n=4时的运动半径，可知：当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan
=
R=
，可得：v0=
；
答：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间为
；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为v0=
tan
（n=2、3、4、…），
运动时间为当n为偶数时，t=
=
（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时，即t=
T+
T=
（n=3、5、7…）．
（3）其速度的最大值为
．
由牛顿第二定律得：qv0B=m
| ||
| r |
T=
| 2πr |
| v0 |
| 2πm |
| qB |
微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间：
t=
| 90° |
| 360° |
| πm |
| 2qB |
（2）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4，．．）
设每等份圆弧所对圆心角为2θ，
由几何知识可得θ=
| π |
| 2n |
| r |
| R |
由牛顿第二定律得：qv0B=m
| ||
| r |
解得：v0=
| qBR |
| m |
| π |
| 2n |
当n为偶数时，由对称性可得t=
| nT |
| 2 |
| nπm |
| qB |
当n为奇数时．t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，
即t=
| n-1 |
| 2 |
π+
| ||
| 2π |
| (n2+1)πm |
| nqB |
（3）设x为O到粒子运动轨迹的圆心的距离，
由几何知识得：r=Rtan
| π |
| 2n |
| R | ||
cos
|
要不超出边界须有：
| R | ||
cos
|
| π |
| 2n |
解得：2cos
| π |
| 2n |
| π |
| 2n |
当n=2时不成立，如图（b）所示
比较当n=3、n=4时的运动半径，可知：当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan
| π |
| 2n |
| ||
| 3 |
| mv0 |
| qB |
| ||
| 3m |
答：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间为
| πm |
| 2qB |
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为v0=
| qBR |
| m |
| π |
| 2n |
运动时间为当n为偶数时，t=
| nT |
| 2 |
| nπm |
| qB |
当n为奇数时，即t=
| n-1 |
| 2 |
π+
| ||
| 2π |
| (n2+1)πm |
| nqB |
（3）其速度的最大值为
| ||
| 3m |
点评：运动轨迹的特殊性研究到一般性探究，这是分析问题的一种方法．同时要利用圆的特性与物理规律相结合．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．
练习册系列答案
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