Question

如图甲所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个2Ω的电阻R，将一根质量m为0.4kg的金属棒c d垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r大小为0.5Ω，导轨的电阻不计，整个装置放在磁感强度B为1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始向右运动．当棒的速度达到1m/s时，拉力的功率为0.4w，此刻t=0开始计时并保持拉力的功率恒定，经一段时间金属棒达到稳定速度，在该段时间内电流通过电阻R做的功为1.2J．试求：
（1）金属棒的稳定速度；
（2）金属棒从开始计时直至达到稳定速度所需的时间；
（3）在乙图中画出金属棒所受拉力F随时间t变化的大致图象；
（4）从开始计时直至达到稳定速度过程中，金属棒的最大加速度为多大？并证明流过金属棒的最大电量不会超过2.0C．

Answer 1

分析：（1）在拉力的功率保持恒定后，金属棒先做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动，达到稳定．由拉力和安培力平衡求出稳定时速度．
（2）拉力所做的功等于内能与动能的增加量，则由能量守恒可求得时间；拉力功率一定后，拉力和安培力对棒做功，拉力的功由W=Pt列出，由电阻R的电功求出总电功，由动能定理求出时间．
（3）当棒的速度达到1m/s时，拉力的功率为0.4w，此后外力功率恒定，速度继续增大，根据P=Fv可知，外力F在逐渐减小，当安培力和外力F相等时，速度达到最大，之后做匀速直线运动，外力保持不变，
（3）由法拉第电磁感应定律可求得平均电动势，则由Q=It可求得电量的最大值．

解答：解：（1）E=BLv，
I=

BLv

R+r

，
F_安=BIL=

B2L2v

R+r

当金属棒达到稳定速度时，F_安=F_拉
F=

P

v

所以v²=

P(R+r)

B2L2

，代入数据得v=2m/s 
（2）由题意得：W_R=1.2J，
根据串联电路中功率与电阻成正比得：Wr=0.3J，W_电=1.5J        
对金属棒有动能定理得：Pt-W_电=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²   
代入数据得 t=5.25s 
（3）当棒的速度达到1m/s时，拉力的功率为0.4w，此后外力功率恒定，速度继续增大，根据P=Fv可知，外力F在逐渐减小，当安培力和外力F相等时，速度达到最大，之后做匀速直线运动，外力保持不变，由此作图如图所示：

（4）根据（3）分析作出速度图象如图所示

t=0时，由P=Fv得，外力F=

P

v

=

0.4

1

N=0.4N
此时合外力为F_合=0.4-

B2l2v0

R+r

=0.3N
由图象可知t=0加速度最大
 由牛顿第二定律得：am=

F合

m

=0.75m/s2 
证明：由a=

△v

△t

得：
开始加速最短时间：△t=

△v

am

=

4

3

s
金属棒的最大位移   S_m＜5.25×1+

(5.25+5.25-1.33)×1

2

=9.8m   
流过金属棒的电量
Q＜

B△S

R+r

=

1×9.8×0.5

2+0.5

C=1.97C＜2.0C
答：（1）金属棒的稳定速度2m/s；
（2）金属棒从开始计时直至达到稳定速度所需的时间5.25s；
（3）在乙图中画出金属棒所受拉力F随时间t变化的大致图象为：
；
（4）从开始计时直至达到稳定速度过程中，金属棒的最大加速度为0.75m/s²．

点评：在电磁感应中，若为导体切割磁感线，则应使用E=BLV；若求电量应用法拉第电磁感应定律求平均电动势；并要注意电磁感应中的能量关系．